MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordunifi 8095
Description: The maximum of a finite collection of ordinals is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ordunifi ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem ordunifi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 6875 . . . . . 6 E We On
2 weso 5029 . . . . . 6 ( E We On → E Or On)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 E Or On
4 soss 4977 . . . . 5 (𝐴 ⊆ On → ( E Or On → E Or 𝐴))
53, 4mpi 20 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → E Or 𝐴)
6 fimax2g 8091 . . . 4 (( E Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
75, 6syl3an1 1351 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
8 ssel2 3563 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
98adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
10 ssel2 3563 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12 ontri1 5674 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
13 epel 4952 . . . . . . . . . 10 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
1413notbii 309 . . . . . . . . 9 𝑥 E 𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑦)
1512, 14syl6rbbr 278 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
169, 11, 15syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
1716ralbidva 2968 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
18 unissb 4405 . . . . . 6 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1917, 18syl6bbr 277 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 𝐴𝑥))
2019rexbidva 3031 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
21203ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
227, 21mpbid 221 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥)
23 elssuni 4403 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
24 eqss 3583 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
25 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴 𝐴𝐴))
2625biimpcd 238 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴 𝐴𝐴))
2724, 26syl5bir 232 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝑥 𝐴 𝐴𝑥) → 𝐴𝐴))
2823, 27mpand 707 . . 3 (𝑥𝐴 → ( 𝐴𝑥 𝐴𝐴))
2928rexlimiv 3009 . 2 (∃𝑥𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝐴)
3022, 29syl 17 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   cuni 4372   class class class wbr 4583   E cep 4947   Or wor 4958   We wwe 4996  Oncon0 5640  Fincfn 7841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845
This theorem is referenced by:  nnunifi  8096  oemapvali  8464  ttukeylem6  9219  limsucncmpi  31614
  Copyright terms: Public domain W3C validator