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Theorem inar1 9064
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is equipotent to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8979 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
2 winaon 8977 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
4 winalim 8984 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  Lim  A )
6 r1lim 8103 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
73, 5, 6syl2anc 659 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  =  U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
8 onelon 4817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
93, 8sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
10 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
11 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
1211breq1d 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x ) 
~<  A  <->  ( R1 `  (/) )  ~<  A )
)
1310, 12imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A )  <->  ( (/)  e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) ) )
14 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
15 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
1615breq1d 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  x
)  ~<  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
1714, 16imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  ~<  A )  <->  ( y  e.  A  ->  ( R1
`  y )  ~<  A ) ) )
18 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
19 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2019breq1d 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  x )  ~<  A  <->  ( R1 ` 
suc  y )  ~<  A ) )
2118, 20imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )  <-> 
( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  ~<  A ) ) )
22 ne0i 3717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
23 0sdomg 7565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
2422, 23syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  ~<  A ) )
25 r10 8099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2625breq1i 4374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R1 `  (/) )  ~<  A 
<->  (/)  ~<  A )
2724, 26syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) )
281, 2, 273syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) )
29 eloni 4802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
30 ordtr 4806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Tr  A )
32 trsuc 4876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  A  /\  suc  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
3332ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  A  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
343, 31, 333syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A
) )
36 r1suc 8101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
37 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
3837cardid 8835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  ~~  ( R1 `  y )
3938ensymi 7484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R1
`  y )  ~~  ( card `  ( R1 `  y ) )
40 pwen 7609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R1 `  y ) 
~~  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ~P ( R1
`  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P ( R1 `  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )
4236, 41syl6eqbr 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y ) 
~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
43 winacard 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( card `  A )  =  A )
4443eleq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
45 cardsdom 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R1 `  y
)  e.  _V  /\  A  e.  On )  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
4637, 2, 45sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
4744, 46bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
49 elina 8976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. z  e.  A  ~P z  ~<  A ) )
5049simp3bi 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. z  e.  A  ~P z  ~<  A )
51 pweq 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ~P z  =  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
5251breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ( ~P z  ~<  A  <->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) 
~<  A ) )
5352rspccv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  A  ~P z  ~<  A  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A ) )
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A ) )
5548, 54sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( R1 `  y )  ~<  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y
) )  ~<  A ) )
5655imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A )
57 ensdomtr 7572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R1 `  suc  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  /\  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) 
~<  A )  ->  ( R1 `  suc  y ) 
~<  A )
5842, 56, 57syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  e.  Inacc  /\  ( R1 `  y )  ~<  A ) )  -> 
( R1 `  suc  y )  ~<  A )
5958expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( ( R1 `  y )  ~<  A  -> 
( R1 `  suc  y )  ~<  A ) )
6035, 59imim12d 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  ~<  A ) ) )
6160ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  Inacc  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  ~<  A ) ) ) )
62 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
63 r1lim 8103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ z  e.  x  ( R1 `  z ) )
6462, 63mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ z  e.  x  ( R1 `  z ) )
65 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ y
z
66 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y
( R1 `  z
)
67 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y  ~<_
68 nfiu1 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )
6966, 67, 68nfbr 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ y ( R1 `  z
)  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )
70 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  z
) )
7170breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( R1 `  y
)  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  <->  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
72 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  _V
7362, 72iunex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  _V
74 ssiun2 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )
75 ssdomg 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e. 
_V  ->  ( ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
7673, 74, 75mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
77 endomtr 7492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R1 `  y
)  ~~  ( card `  ( R1 `  y
) )  /\  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( R1 `  y )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
7839, 76, 77sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  x  ->  ( R1 `  y )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8079rgen 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )
81 iundom 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_ 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
8262, 80, 81mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8362, 73unex 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  _V
84 ssun2 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
85 ssdomg 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) ) )
8683, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8762xpdom2 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  -> 
( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
89 ssun1 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  C_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
90 ssdomg 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( x  C_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  x  ~<_  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9183, 89, 90mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
9283xpdom1 7535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
94 domtr 7487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  /\  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )  ->  (
x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9588, 93, 94mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
96 limomss 6604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9796, 89syl6ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
98 ssdomg 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( om  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  om 
~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9983, 97, 98mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  x  ->  om  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
100 infxpidm 8850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
102 domentr 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  /\  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ->  (
x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
10395, 101, 102sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
104 domtr 7487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  /\  ( x  X.  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
10582, 103, 104sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
10664, 105eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
107106ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( R1 `  x )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
108 eleq1a 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  =  x  ->  A  e.  A ) )
109 ordirr 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1103, 29, 1093syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  Inacc  ->  -.  A  e.  A )
111108, 110nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  Inacc  ->  -.  A  =  x )
)
112111imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  Inacc )  ->  -.  A  =  x
)
113112ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  A  =  x )
114 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  e.  A )
115 limord 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
11662elon 4801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
117115, 116sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
118117ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  e.  On )
119 cardf 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  card : _V --> On
120 r1fnon 8098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  R1  Fn  On
121 dffn2 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R1  Fn  On  <->  R1 : On
--> _V )
122120, 121mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R1 : On
--> _V
123 fco 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
card : _V --> On  /\  R1 : On --> _V )  ->  ( card  o.  R1 ) : On --> On )
124119, 122, 123mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( card 
o.  R1 ) : On --> On
125 onss 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  On  ->  x  C_  On )
126 fssres 5659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( card  o.  R1 ) : On --> On  /\  x  C_  On )  -> 
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On )
127124, 125, 126sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  (
( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On )
128 ffn 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On  ->  (
( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x )
129118, 127, 1283syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x
)
1303ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
131 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
132 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  A )
133 ontr1 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
134133imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  x  /\  x  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
135130, 131, 132, 134syl12anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
13637, 130, 45sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
1371, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( card `  A )  =  A )
138137ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  ( card `  A )  =  A )
139138eleq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
140136, 139bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( R1 `  y
)  ~<  A  <->  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  A
) )
141140biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( R1 `  y
)  ~<  A  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
142135, 141embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
143117ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  ->  x  e.  On )
144 fvres 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  x  ->  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  =  ( ( card  o.  R1 ) `  y )
)
145144adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  =  ( (
card  o.  R1 ) `  y ) )
146 onelon 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
147 fvco3 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R1 : On --> _V  /\  y  e.  On )  ->  ( ( card  o.  R1 ) `  y )  =  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
148122, 146, 147sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( card  o.  R1 ) `  y )  =  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
149145, 148eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  =  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
150143, 149sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  =  (
card `  ( R1 `  y ) ) )
151150eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A  <->  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  A
) )
152142, 151sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
153152ralimdva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  A. y  e.  x  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
154153impr 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  e.  A
)
155 ffnfv 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  <->  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  e.  A
) )
156129, 154, 155sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A )
157 eleq2 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ( z  e.  A  <->  z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
158157biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
159 eliun 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  <->  E. y  e.  x  z  e.  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
160 cardon 8238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  On
161160onelssi 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  z  C_  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
162149sseq2d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( z  C_  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  <->  z  C_  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
163161, 162syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  (
card `  ( R1 `  y ) )  -> 
z  C_  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y ) ) )
164163reximdva 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  On  ->  ( E. y  e.  x  z  e.  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
165159, 164syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  (
z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
166158, 165syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  On  ->  (
( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
167166expdimp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
168167ralrimiv 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )
169168ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
170118, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
171 ffun 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
card  o.  R1 ) : On --> On  ->  Fun  ( card  o.  R1 ) )
172124, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  Fun  ( card  o.  R1 )
173 resfunexg 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  ( card  o.  R1 )  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  e.  _V )
174172, 62, 173mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
card  o.  R1 )  |`  x )  e.  _V
175 feq1 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
w : x --> A  <->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A ) )
176 fveq1 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
w `  y )  =  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )
177176sseq2d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
z  C_  ( w `  y )  <->  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
178177rexbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y )  <->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
179178ralbidv 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  ( A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
180175, 179anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  <->  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) ) )
181174, 180spcev 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )  ->  E. w
( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) ) )
182156, 170, 181syl6an 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) ) ) )
1833ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A  e.  On )
184 cfflb 8552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
185183, 118, 184syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
186182, 185syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  -> 
( cf `  A
)  C_  x )
)
18749simp2bi 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
188187sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  A  C_  x )
)
189188ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  A  C_  x )
)
190186, 189sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A  C_  x ) )
191 ontri1 4826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  C_  x  <->  -.  x  e.  A ) )
192183, 118, 191syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  C_  x  <->  -.  x  e.  A ) )
193190, 192sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  -.  x  e.  A
) )
194114, 193mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
19562, 72iunonOLD 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
196160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
197195, 196mprg 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  On
198 eqcom 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  <->  A  =  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
199 eloni 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
200 eloni 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  Ord  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
201 ordequn 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  x  \/  A  = 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
202199, 200, 201syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )  ->  ( A  =  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  x  \/  A  = 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
203198, 202syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A  ->  ( A  =  x  \/  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
204118, 197, 203sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  ->  ( A  =  x  \/  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
205113, 194, 204mtord 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A )
206 onelss 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
207183, 114, 206sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  C_  A
)
208 onelss 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  A
) )
209130, 142, 208sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A ) )
210209ralimdva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A ) )
211210impr 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  A
)
212 iunss 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A 
<-> 
A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A )
213211, 212sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) 
C_  A )
214207, 213unssd 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
C_  A )
215 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) )
216 iuneq1 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  =  U_ y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )
217215, 216uneq12d 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u.  U_ y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) ) )
218217eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On  <->  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u. 
U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On ) )
219 0elon 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (/)  e.  On
220219elimel 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  e.  On
221220elexi 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  e. 
_V
222221, 72iunonOLD 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
223160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
224222, 223mprg 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On
225220, 224onun2i 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u. 
U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On
226218, 225dedth 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  On )
227117, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On )
228227adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  On )
2293adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) )  ->  A  e.  On )
230 onsseleq 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
C_  A  <->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A ) ) )
231228, 229, 230syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  C_  A 
<->  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A  \/  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A ) ) )
232214, 231mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A ) )
233232orcomd 386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A ) )
234233ord 375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( -.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A ) )
235205, 234mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A )
236137ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( card `  A )  =  A )
237 iscard 8269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  A )  =  A  <->  ( A  e.  On  /\  A. z  e.  A  z  ~<  A ) )
238237simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  A )  =  A  ->  A. z  e.  A  z  ~<  A )
239 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( z  ~<  A 
<->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
240239rspccv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  z  ~<  A  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
241236, 238, 2403syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
242235, 241mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A )
243 domsdomtr 7571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R1 `  x
)  ~<_  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  /\  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
244107, 242, 243syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
245244exp43 610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( Lim  x  ->  ( A  e.  Inacc  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A ) ) ) )
246245com4l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  Inacc  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  ~<  A ) ) ) )
24713, 17, 21, 28, 61, 246tfinds2 6597 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  Inacc  ->  (
x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A ) ) )
248247impd 429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A ) )
2499, 248mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
250 sdomdom 7462 . . . . . . 7  |-  ( ( R1 `  x ) 
~<  A  ->  ( R1
`  x )  ~<_  A )
251249, 250syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<_  A )
252251ralrimiva 2796 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  A )
253 iundom 8830 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  A )  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  ( A  X.  A ) )
2543, 252, 253syl2anc 659 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  ( A  X.  A ) )
2557, 254eqbrtrd 4387 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~<_  ( A  X.  A ) )
256 winainf 8983 . . . . 5  |-  ( A  e.  InaccW  ->  om  C_  A
)
2571, 256syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  om  C_  A
)
258 infxpen 8305 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( A  X.  A )  ~~  A )
2593, 257, 258syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( A  X.  A )  ~~  A
)
260 domentr 7493 . . 3  |-  ( ( ( R1 `  A
)  ~<_  ( A  X.  A )  /\  ( A  X.  A )  ~~  A )  ->  ( R1 `  A )  ~<_  A )
261255, 259, 260syl2anc 659 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~<_  A )
262 fvex 5784 . . 3  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
263122fdmi 5644 . . . . 5  |-  dom  R1  =  On
2642, 263syl6eleqr 2481 . . . 4  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  dom  R1 )
265 onssr1 8162 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A 
C_  ( R1 `  A ) )
2661, 264, 2653syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  C_  ( R1 `  A ) )
267 ssdomg 7480 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( R1 `  A )  ->  A  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
268262, 266, 267mpsyl 63 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  ~<_  ( R1
`  A ) )
269 sbth 7556 . 2  |-  ( ( ( R1 `  A
)  ~<_  A  /\  A  ~<_  ( R1 `  A ) )  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
270261, 268, 269syl2anc 659 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ifcif 3857   ~Pcpw 3927   U_ciun 4243   class class class wbr 4367   Tr wtr 4460   Ord word 4791   Oncon0 4792   Lim wlim 4793   suc csuc 4794    X. cxp 4911   dom cdm 4913    |` cres 4915    o. ccom 4917   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496   omcom 6599    ~~ cen 7432    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434   R1cr1 8093   cardccrd 8229   cfccf 8231   InaccWcwina 8971   Inacccina 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-ac2 8756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-oi 7850  df-r1 8095  df-rank 8096  df-card 8233  df-cf 8235  df-acn 8236  df-ac 8410  df-wina 8973  df-ina 8974
This theorem is referenced by:  r1omALT  9065  inatsk  9067
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