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Theorem inar1 8934
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is equipotent to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8849 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
2 winaon 8847 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
4 winalim 8854 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  Lim  A )
6 r1lim 7971 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  =  U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
8 onelon 4739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
93, 8sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
10 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
11 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
1211breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x ) 
~<  A  <->  ( R1 `  (/) )  ~<  A )
)
1310, 12imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A )  <->  ( (/)  e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) ) )
14 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
15 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
1615breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  x
)  ~<  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
1714, 16imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  ~<  A )  <->  ( y  e.  A  ->  ( R1
`  y )  ~<  A ) ) )
18 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
19 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2019breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  x )  ~<  A  <->  ( R1 ` 
suc  y )  ~<  A ) )
2118, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )  <-> 
( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  ~<  A ) ) )
22 ne0i 3638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
23 0sdomg 7432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
2422, 23syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  ~<  A ) )
25 r10 7967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2625breq1i 4294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R1 `  (/) )  ~<  A 
<->  (/)  ~<  A )
2724, 26syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) )
281, 2, 273syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( R1 `  (/) )  ~<  A ) )
29 eloni 4724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
30 ordtr 4728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Tr  A )
32 trsuc 4798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  A  /\  suc  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  A  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
343, 31, 333syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A
) )
36 r1suc 7969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
37 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
3837cardid 8703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  ~~  ( R1 `  y )
3938ensymi 7351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R1
`  y )  ~~  ( card `  ( R1 `  y ) )
40 pwen 7476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R1 `  y ) 
~~  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ~P ( R1
`  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P ( R1 `  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )
4236, 41syl6eqbr 4324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y ) 
~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
43 winacard 8851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( card `  A )  =  A )
4443eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
45 cardsdom 8711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R1 `  y
)  e.  _V  /\  A  e.  On )  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
4637, 2, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
4744, 46bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
49 elina 8846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. z  e.  A  ~P z  ~<  A ) )
5049simp3bi 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. z  e.  A  ~P z  ~<  A )
51 pweq 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ~P z  =  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) )
5251breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ( ~P z  ~<  A  <->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) 
~<  A ) )
5352rspccv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  A  ~P z  ~<  A  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A ) )
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A ) )
5548, 54sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( R1 `  y )  ~<  A  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y
) )  ~<  A ) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<  A )
57 ensdomtr 7439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R1 `  suc  y )  ~~  ~P ( card `  ( R1 `  y ) )  /\  ~P ( card `  ( R1 `  y ) ) 
~<  A )  ->  ( R1 `  suc  y ) 
~<  A )
5842, 56, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  e.  Inacc  /\  ( R1 `  y )  ~<  A ) )  -> 
( R1 `  suc  y )  ~<  A )
5958expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( ( R1 `  y )  ~<  A  -> 
( R1 `  suc  y )  ~<  A ) )
6035, 59imim12d 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  ~<  A ) ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  Inacc  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  ~<  A ) ) ) )
62 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
63 r1lim 7971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ z  e.  x  ( R1 `  z ) )
6462, 63mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ z  e.  x  ( R1 `  z ) )
65 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ y
z
66 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y
( R1 `  z
)
67 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y  ~<_
68 nfiu1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )
6966, 67, 68nfbr 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ y ( R1 `  z
)  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )
70 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  z
) )
7170breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( R1 `  y
)  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  <->  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
72 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  _V
7362, 72iunex 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  _V
74 ssiun2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )
75 ssdomg 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e. 
_V  ->  ( ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
7673, 74, 75mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
77 endomtr 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R1 `  y
)  ~~  ( card `  ( R1 `  y
) )  /\  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( R1 `  y )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
7839, 76, 77sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  x  ->  ( R1 `  y )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8079rgen 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )
81 iundom 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_ 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
8262, 80, 81mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8362, 73unex 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  _V
84 ssun2 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
85 ssdomg 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) ) )
8683, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
8762xpdom2 7398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  -> 
( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
89 ssun1 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  C_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
90 ssdomg 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( x  C_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  x  ~<_  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9183, 89, 90mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
9283xpdom1 7402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
94 domtr 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  X.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  /\  ( x  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )  ->  (
x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9588, 93, 94mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
96 limomss 6476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9796, 89syl6ss 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
98 ssdomg 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e. 
_V  ->  ( om  C_  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ->  om 
~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
9983, 97, 98mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  x  ->  om  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
100 infxpidm 8718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
102 domentr 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  X.  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  /\  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  X.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ~~  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ->  (
x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
10395, 101, 102sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
104 domtr 7354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  X.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  /\  ( x  X.  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
10582, 103, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  U_ z  e.  x  ( R1 `  z )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
10664, 105eqbrtrd 4307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
107106ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( R1 `  x )  ~<_  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
108 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  =  x  ->  A  e.  A ) )
109 ordirr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1103, 29, 1093syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  Inacc  ->  -.  A  e.  A )
111108, 110nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  Inacc  ->  -.  A  =  x )
)
112111imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  Inacc )  ->  -.  A  =  x
)
113112ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  A  =  x )
114 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  e.  A )
115 limord 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
11662elon 4723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
117115, 116sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  e.  On )
119 cardf 8706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  card : _V --> On
120 r1fnon 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  R1  Fn  On
121 dffn2 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R1  Fn  On  <->  R1 : On
--> _V )
122120, 121mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R1 : On
--> _V
123 fco 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
card : _V --> On  /\  R1 : On --> _V )  ->  ( card  o.  R1 ) : On --> On )
124119, 122, 123mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( card 
o.  R1 ) : On --> On
125 onss 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  On  ->  x  C_  On )
126 fssres 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( card  o.  R1 ) : On --> On  /\  x  C_  On )  -> 
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On )
127124, 125, 126sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  (
( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On )
128 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> On  ->  (
( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x )
129118, 127, 1283syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x
)
1303ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
131 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
132 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  A )
133 ontr1 4760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
134133imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  x  /\  x  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
135130, 131, 132, 134syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
13637, 130, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( R1 `  y )  ~<  A ) )
1371, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( card `  A )  =  A )
138137ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  ( card `  A )  =  A )
139138eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  ( card `  A
)  <->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
140136, 139bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( R1 `  y
)  ~<  A  <->  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  A
) )
141140biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( R1 `  y
)  ~<  A  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
142135, 141embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A ) )
143117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  ->  x  e.  On )
144 fvres 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  x  ->  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  =  ( ( card  o.  R1 ) `  y )
)
145144adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  =  ( (
card  o.  R1 ) `  y ) )
146 onelon 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
147 fvco3 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R1 : On --> _V  /\  y  e.  On )  ->  ( ( card  o.  R1 ) `  y )  =  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
148122, 146, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( card  o.  R1 ) `  y )  =  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
149145, 148eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  =  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
150143, 149sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  =  (
card `  ( R1 `  y ) ) )
151150eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A  <->  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  A
) )
152142, 151sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
153152ralimdva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  A. y  e.  x  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
154153impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  e.  A
)
155 ffnfv 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  <->  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  e.  A
) )
156129, 154, 155sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A )
157 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  ( z  e.  A  <->  z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
158157biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
159 eliun 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  <->  E. y  e.  x  z  e.  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
160 cardon 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  On
161160onelssi 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  z  C_  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
162149sseq2d 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( z  C_  (
( ( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y )  <->  z  C_  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) )
163161, 162syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( z  e.  (
card `  ( R1 `  y ) )  -> 
z  C_  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) `  y ) ) )
164163reximdva 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  On  ->  ( E. y  e.  x  z  e.  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
165159, 164syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  (
z  e.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
166158, 165syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  On  ->  (
( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
167166expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
168167ralrimiv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )
169168ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
170118, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
171 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
card  o.  R1 ) : On --> On  ->  Fun  ( card  o.  R1 ) )
172124, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  Fun  ( card  o.  R1 )
173 resfunexg 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  ( card  o.  R1 )  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  e.  _V )
174172, 62, 173mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
card  o.  R1 )  |`  x )  e.  _V
175 feq1 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
w : x --> A  <->  ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A ) )
176 fveq1 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
w `  y )  =  ( ( (
card  o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )
177176sseq2d 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
z  C_  ( w `  y )  <->  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
178177rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y )  <->  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
179178ralbidv 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  ( A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) )
180175, 179anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( ( card 
o.  R1 )  |`  x )  ->  (
( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  <->  ( (
( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) ) ) )
181174, 180spcev 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( card  o.  R1 )  |`  x ) : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( ( ( card 
o.  R1 )  |`  x ) `  y
) )  ->  E. w
( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) ) )
182156, 170, 181syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) ) ) )
1833ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A  e.  On )
184 cfflb 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
185183, 118, 184syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( E. w ( w : x --> A  /\  A. z  e.  A  E. y  e.  x  z  C_  ( w `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
186182, 185syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  -> 
( cf `  A
)  C_  x )
)
18749simp2bi 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
188187sseq1d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  A  C_  x )
)
189188ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  A  C_  x )
)
190186, 189sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  A  C_  x ) )
191 ontri1 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  C_  x  <->  -.  x  e.  A ) )
192183, 118, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  C_  x  <->  -.  x  e.  A ) )
193190, 192sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  ->  -.  x  e.  A
) )
194114, 193mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )
19562, 72iunonOLD 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
196160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  x  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
197195, 196mprg 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  e.  On
198 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  <->  A  =  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) ) )
199 eloni 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
200 eloni 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  Ord  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )
201 ordequn 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  x  \/  A  = 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
202199, 200, 201syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )  ->  ( A  =  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( A  =  x  \/  A  = 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
203198, 202syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  U_ y  e.  x  (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A  ->  ( A  =  x  \/  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
204118, 197, 203sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  ->  ( A  =  x  \/  A  =  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) ) )
205113, 194, 204mtord 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  -.  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A )
206 onelss 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
207183, 114, 206sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  x  C_  A
)
208 onelss 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
( card `  ( R1 `  y ) )  e.  A  ->  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  A
) )
209130, 142, 208sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  Inacc
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A ) )
210209ralimdva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  A  e.  Inacc )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  ~<  A )  ->  A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A ) )
211210impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  C_  A
)
212 iunss 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A 
<-> 
A. y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) )  C_  A )
213211, 212sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) 
C_  A )
214207, 213unssd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
C_  A )
215 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) )
216 iuneq1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) )  =  U_ y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )
217215, 216uneq12d 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u.  U_ y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) ) )
218217eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On  <->  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u. 
U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On ) )
219 0elon 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (/)  e.  On
220219elimel 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  e.  On
221220elexi 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  e. 
_V
222221, 72iunonOLD 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. y  e.  if  (
x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) )  e.  On  ->  U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
223160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  ->  ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On )
224222, 223mprg 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) ( card `  ( R1 `  y ) )  e.  On
225220, 224onun2i 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( if ( x  e.  On ,  x ,  (/) )  u. 
U_ y  e.  if  ( x  e.  On ,  x ,  (/) ) (
card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On
226218, 225dedth 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  On )
227117, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On )
228227adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  On )
2293adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) )  ->  A  e.  On )
230 onsseleq 4755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
C_  A  <->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A ) ) )
231228, 229, 230syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  C_  A 
<->  ( ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A  \/  (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A ) ) )
232214, 231mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  =  A ) )
233232orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  \/  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A ) )
234233ord 377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( -.  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  =  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A ) )
235205, 234mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  e.  A )
236137ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( card `  A )  =  A )
237 iscard 8137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  A )  =  A  <->  ( A  e.  On  /\  A. z  e.  A  z  ~<  A ) )
238237simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  A )  =  A  ->  A. z  e.  A  z  ~<  A )
239 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  ->  ( z  ~<  A 
<->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
240239rspccv 3065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  z  ~<  A  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
241236, 238, 2403syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( (
x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y
) ) )  e.  A  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A ) )
242235, 241mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( x  u.  U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A )
243 domsdomtr 7438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R1 `  x
)  ~<_  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) )  /\  ( x  u. 
U_ y  e.  x  ( card `  ( R1 `  y ) ) ) 
~<  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
244107, 242, 243syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  Lim  x )  /\  ( A  e.  Inacc  /\  A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A ) ) )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
245244exp43 612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( Lim  x  ->  ( A  e.  Inacc  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A ) ) ) )
246245com4l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  Inacc  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  ~<  A )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  ~<  A ) ) ) )
24713, 17, 21, 28, 61, 246tfinds2 6469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  Inacc  ->  (
x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  ~<  A ) ) )
248247impd 431 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A ) )
2499, 248mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<  A )
250 sdomdom 7329 . . . . . . 7  |-  ( ( R1 `  x ) 
~<  A  ->  ( R1
`  x )  ~<_  A )
251249, 250syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  ~<_  A )
252251ralrimiva 2794 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  A )
253 iundom 8698 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  A )  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  ( A  X.  A ) )
2543, 252, 253syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  ~<_  ( A  X.  A ) )
2557, 254eqbrtrd 4307 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~<_  ( A  X.  A ) )
256 winainf 8853 . . . . 5  |-  ( A  e.  InaccW  ->  om  C_  A
)
2571, 256syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  Inacc  ->  om  C_  A
)
258 infxpen 8173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( A  X.  A )  ~~  A )
2593, 257, 258syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( A  X.  A )  ~~  A
)
260 domentr 7360 . . 3  |-  ( ( ( R1 `  A
)  ~<_  ( A  X.  A )  /\  ( A  X.  A )  ~~  A )  ->  ( R1 `  A )  ~<_  A )
261255, 259, 260syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~<_  A )
262 fvex 5696 . . 3  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
263122fdmi 5559 . . . . 5  |-  dom  R1  =  On
2642, 263syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  dom  R1 )
265 onssr1 8030 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A 
C_  ( R1 `  A ) )
2661, 264, 2653syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  C_  ( R1 `  A ) )
267 ssdomg 7347 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( R1 `  A )  ->  A  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
268262, 266, 267mpsyl 63 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  ~<_  ( R1
`  A ) )
269 sbth 7423 . 2  |-  ( ( ( R1 `  A
)  ~<_  A  /\  A  ~<_  ( R1 `  A ) )  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
270261, 268, 269syl2anc 661 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    u. cun 3321    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   U_ciun 4166   class class class wbr 4287   Tr wtr 4380   Ord word 4713   Oncon0 4714   Lim wlim 4715   suc csuc 4716    X. cxp 4833   dom cdm 4835    |` cres 4837    o. ccom 4839   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   omcom 6471    ~~ cen 7299    ~<_ cdom 7300    ~< csdm 7301   R1cr1 7961   cardccrd 8097   cfccf 8099   InaccWcwina 8841   Inacccina 8842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-ac2 8624
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-oi 7716  df-r1 7963  df-rank 7964  df-card 8101  df-cf 8103  df-acn 8104  df-ac 8278  df-wina 8843  df-ina 8844
This theorem is referenced by:  r1omALT  8935  inatsk  8937
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