Theorem endomtr 7900

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 7868	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 7895	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 487	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   class class class wbr 4583   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-f1o 5811  df-en 7842  df-dom 7843

This theorem is referenced by:  undom  7933  xpdom1g  7942  xpdom3  7943  domunsncan  7945  domsdomtr  7980  domen1  7987  mapdom1  8010  mapdom2  8016  mapdom3  8017  php  8029  onomeneq  8035  sucdom2  8041  hartogslem1  8330  harcard  8687  infxpenlem  8719  infpwfien  8768  alephsucdom  8785  mappwen  8818  dfac12lem2  8849  cdalepw  8901  fictb  8950  cfflb  8964  canthp1lem1  9353  pwfseqlem5  9364  pwxpndom2  9366  pwcdandom  9368  gchxpidm  9370  gchhar  9380  tskinf  9470  inar1  9476  gruina  9519  rexpen  14796  mreexdomd  16133  hauspwdom  21114  rectbntr0  22443  rabfodom  28728  snct  28874  cnvct  28878  dya2iocct  29669  finminlem  31482  lindsdom  32573  poimirlem26  32605  heiborlem3  32782  pellexlem4  36414  pellexlem5  36415  mpct  38388  aacllem  42356