Theorem itg2addlem 23331

Description: Lemma for itg2add 23332. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.p2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2add.q1	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.q2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2addlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
3	1, 2	mbfadd 23234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)
4		ge0addcl 12155	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6		itg2add.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7		itg2add.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8		reex 9906	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		inidm 3784	. . . 4 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11	5, 6, 7, 9, 9, 10	off 6810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
14	12, 13	i1fadd 23268	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16		itg2add.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17		itg2add.q1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18		nnex 10903	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
20		inidm 3784	. . . 4 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
21	15, 16, 17, 19, 19, 20	off 6810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22		ge0addcl 12155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
24	16	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1)
25		itg2add.p2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑚))
27	26	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚)))
28		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
29	28	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
30	26, 29	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
31	27, 30	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
32	31	rspccva 3281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
33	25, 32	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
34	33	simpld 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚))
35		breq2 4587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚)))
36		feq1 5939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
37	35, 36	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
38		i1ff 23249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
39		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 Fn ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
42		0cn 9911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
43		fnconstg 6006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
45		df-0p 23243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
46	45	fneq1i 5899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
47	44, 46	mpbir 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
49		cnex 9896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
51	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
52		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53		sseqin2 3779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
54	52, 53	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
55		0pval 23244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
57		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
58	48, 40, 50, 51, 54, 56, 57	ofrfval 6803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
59	58	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
60	38	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
61		elrege0 12149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
62	61	simplbi2 653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
64	63	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
65	64	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
66	59, 65	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
67		ffnfv 6295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
68	41, 66, 67	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
69	68	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
70	37, 69	vtoclga 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
71	24, 34, 70	sylc 63	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
72	17	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1)
73		itg2add.q2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
74		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑚))
75	74	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚)))
76	28	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
77	74, 76	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
78	75, 77	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
79	78	rspccva 3281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
80	73, 79	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
81	80	simpld 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚))
82		breq2 4587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚)))
83		feq1 5939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
84	82, 83	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
85	84, 69	vtoclga 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
86	72, 81, 85	sylc 63	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
87	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
88	23, 71, 86, 87, 87, 10	off 6810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
89		0plef 23245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))))
90	88, 89	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))))
91	90	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)))
92		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃:ℕ⟶dom ∫1 → 𝑃 Fn ℕ)
93	16, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ℕ)
94		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄:ℕ⟶dom ∫1 → 𝑄 Fn ℕ)
95	17, 94	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn ℕ)
96		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘𝑚))
97		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
98	93, 95, 19, 19, 20, 96, 97	ofval 6804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)))
99	91, 98	breqtrrd 4611	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
100		i1ff 23249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
101	24, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
102	101	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
103		i1ff 23249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
104	72, 103	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
105	104	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
106		peano2nn 10909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
108	16, 106, 107	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
109		i1ff 23249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111	110	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
112		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
113	17, 106, 112	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
114		i1ff 23249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
116	115	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
117	33	simprd 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
118		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑚) Fn ℝ)
119	101, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) Fn ℝ)
120		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
121	110, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
122		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
123		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
124	119, 121, 87, 87, 10, 122, 123	ofrfval 6803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
125	117, 124	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126	125	r19.21bi 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
127	80	simprd 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
128		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑄‘𝑚) Fn ℝ)
129	104, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) Fn ℝ)
130		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
131	115, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
132		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
133		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
134	129, 131, 87, 87, 10, 132, 133	ofrfval 6803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
135	127, 134	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
136	135	r19.21bi 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
137	102, 105, 111, 116, 126, 136	le2addd 10525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
138	137	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
139	24, 72	i1fadd 23268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1)
140		i1ff 23249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ)
141		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
142	139, 140, 141	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
143	108, 113	i1fadd 23268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
144		i1ff 23249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
146		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
148	119, 129, 87, 87, 10, 122, 132	ofval 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
149	121, 131, 87, 87, 10, 123, 133	ofval 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
150	142, 147, 87, 87, 10, 148, 149	ofrfval 6803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
151	138, 150	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
152		eqidd 2611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
153		eqidd 2611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
154	93, 95, 19, 19, 20, 152, 153	ofval 6804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
155	106, 154	sylan2 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
156	151, 98, 155	3brtr4d 4615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
157	99, 156	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
158	157	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
159		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
160	159	fveq1d 6105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
161	160	cbvmptv 4678	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
162		nnuz 11599	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
163		1zzd 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
164		itg2add.p3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
165		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
166	165	mpteq2dv 4673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
167		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
168	166, 167	breq12d 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
169	168	rspccva 3281	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
170	164, 169	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
171	18	mptex 6390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
172	171	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
173		itg2add.q3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
174		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
175	174	mpteq2dv 4673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)))
176		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
177	175, 176	breq12d 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
178	177	rspccva 3281	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
179	173, 178	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
180	26	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
181		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
182		fvex 6113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
183	180, 181, 182	fvmpt 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
184	183	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
185	102	an32s 842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
186	184, 185	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
187	186	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
188	74	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
189		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
190		fvex 6113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
191	188, 189, 190	fvmpt 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
192	191	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
193	105	an32s 842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
194	192, 193	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
195	194	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
196	98	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
197	196	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
198	197, 148	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
199	198	an32s 842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
200		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
201		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
202	160, 200, 201	fvmpt 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
203	202	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
204	184, 192	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
205	199, 203, 204	3eqtr4d 2654	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
206	162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205	climadd 14210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
207	161, 206	syl5eqbrr 4619	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
208		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
209	6, 208	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
210		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐺 Fn ℝ)
211	7, 210	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
212		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
213		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
214	209, 211, 9, 9, 10, 212, 213	ofval 6804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
215	207, 214	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
216	215	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
217		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗))
218	217	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
219	218	cbvmptv 4678	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
220		itg2add.f3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
221		itg2add.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
222	220, 221	readdcld 9948	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
223	98	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))))
224	24, 72	itg1add 23274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
225	223, 224	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
226		itg1cl 23258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
227	24, 226	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
228		itg1cl 23258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
229	72, 228	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
230	220	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
231	221	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
232	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
233		icossicc 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
234		fss 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
235	232, 233, 234	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
236	1, 6, 16, 25, 164	itg2i1fseqle 23327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐹)
237		itg2ub 23306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
238	235, 24, 236, 237	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
239	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
240		fss 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
241	239, 233, 240	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
242	2, 7, 17, 73, 173	itg2i1fseqle 23327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐺)
243		itg2ub 23306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
244	241, 72, 242, 243	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
245	227, 229, 230, 231, 238, 244	le2addd 10525	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
246	225, 245	eqbrtrd 4605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
247	246	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
248		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘))
249	248	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)))
250	249	breq1d 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
251	250	rspccva 3281	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
252	247, 251	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
253	3, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252	itg2i1fseq2 23329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
254		1zzd 11285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
255		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
256	1, 6, 16, 25, 164, 255, 220	itg2i1fseq3 23330	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐹))
257	18	mptex 6390	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
258	257	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
259		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))
260	2, 7, 17, 73, 173, 259, 221	itg2i1fseq3 23330	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐺))
261		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑚))
262	261	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
263		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ V
264	262, 255, 263	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
265	264	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
266	227	recnd 9947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℂ)
267	265, 266	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
268		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑚))
269	268	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄‘𝑘)) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
270		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ V
271	269, 259, 270	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
272	271	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
273	229	recnd 9947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℂ)
274	272, 273	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
275		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
276	275	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
277		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
278	276, 219, 277	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
279	278	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
280	265, 272	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
281	225, 279, 280	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)))
282	162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281	climadd 14210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
283		climuni 14131	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
284	253, 282, 283	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ∘_𝑟 cofr 6794  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048  [,]cicc 12049   ⇝ cli 14063  MblFncmbf 23189  ∫₁citg1 23190  ∫₂citg2 23191  0_𝑝c0p 23242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243

This theorem is referenced by:  itg2add  23332