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 Description: Lemma for itg2add 23332. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2add.q2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2addlem (𝜑 → (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.g1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
31, 2mbfadd 23234 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)
4 ge0addcl 12155 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6 itg2add.f2 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7 itg2add.g2 . . . 4 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8 reex 9906 . . . . 5 ℝ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
10 inidm 3784 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6810 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
1412, 13i1fadd 23268 . . . . 5 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16 itg2add.p1 . . . 4 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17 itg2add.q1 . . . 4 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18 nnex 10903 . . . . 5 ℕ ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
20 inidm 3784 . . . 4 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6810 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑓𝑓 + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22 ge0addcl 12155 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2322adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2416ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1)
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑚))
2726breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚)))
28 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
2928fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
3026, 29breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3127, 30anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
3231rspccva 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3325, 32sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3433simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚))
35 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (0𝑝𝑟𝑓 ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚)))
36 feq1 5939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
3735, 36imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑃𝑚) → ((0𝑝𝑟𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
38 i1ff 23249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
39 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 Fn ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
42 0cn 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
43 fnconstg 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ × {0}) Fn ℂ
45 df-0p 23243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0𝑝 = (ℂ × {0})
4645fneq1i 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4744, 46mpbir 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0𝑝 Fn ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
49 cnex 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
52 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
53 sseqin2 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
5452, 53mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
55 0pval 23244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
57 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
5958biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥))
6038ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
61 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
6261simplbi2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6463ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6564imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
6659, 65syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
67 ffnfv 6295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6841, 66, 67sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
6968ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
7037, 69vtoclga 3245 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
7124, 34, 70sylc 63 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
7217ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1)
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
74 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑚))
7574breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚)))
7628fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
7774, 76breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7875, 77anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
7978rspccva 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
8073, 79sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
8180simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚))
82 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (0𝑝𝑟𝑓 ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚)))
83 feq1 5939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8482, 83imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑄𝑚) → ((0𝑝𝑟𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
8584, 69vtoclga 3245 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8672, 81, 85sylc 63 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
878a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
89 0plef 23245 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))))
9088, 89sylib 207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))))
9190simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)))
92 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝑃:ℕ⟶dom ∫1𝑃 Fn ℕ)
9316, 92syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 Fn ℕ)
94 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝑄:ℕ⟶dom ∫1𝑄 Fn ℕ)
9517, 94syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 Fn ℕ)
96 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) = (𝑃𝑚))
97 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) = (𝑄𝑚))
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6804 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)))
9991, 98breqtrrd 4611 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
100 i1ff 23249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
10124, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
102101ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
103 i1ff 23249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
10472, 103syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
105104ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
106 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
10816, 106, 107syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
109 i1ff 23249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111110ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
112 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
11317, 106, 112syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
114 i1ff 23249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
116115ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
11733simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
118 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑚) Fn ℝ)
119101, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) Fn ℝ)
120 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
121110, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
122 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
123 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
125117, 124mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126125r19.21bi 2916 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
12780simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
128 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑄𝑚) Fn ℝ)
129104, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) Fn ℝ)
130 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
131115, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
132 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
133 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
135127, 134mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
136135r19.21bi 2916 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 10525 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
138137ralrimiva 2949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
13924, 72i1fadd 23268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1)
140 i1ff 23249 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ)
141 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
142139, 140, 1413syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
143108, 113i1fadd 23268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
144 i1ff 23249 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
145143, 144syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
146 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6804 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6804 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
151138, 150mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
152 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
153 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6804 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
155106, 154sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
156151, 98, 1553brtr4d 4615 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
15799, 156jca 553 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
158157ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
159 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
160159fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
161160cbvmptv 4678 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
162 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
163 1zzd 11285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
164 itg2add.p3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
165 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
166165mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
167 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
168166, 167breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
169168rspccva 3281 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
170164, 169sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
17118mptex 6390 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
172171a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
173 itg2add.q3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
174 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑦))
175174mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)))
176 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
177175, 176breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
178177rspccva 3281 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
179173, 178sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
18026fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
181 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
182 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ V
183180, 181, 182fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
184183adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
185102an32s 842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
186184, 185eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
187186recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
18874fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
189 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))
190 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ V
191188, 189, 190fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
192191adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
193105an32s 842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
194192, 193eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
195194recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
19698fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))‘𝑦))
197196adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))‘𝑦))
198197, 148eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
199198an32s 842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
200 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
201 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
202160, 200, 201fvmpt 6191 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
203202adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
204184, 192oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
205199, 203, 2043eqtr4d 2654 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
206162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205climadd 14210 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
207161, 206syl5eqbrr 4619 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
208 ffn 5958 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
2096, 208syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
210 ffn 5958 . . . . . . 7 (𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐺 Fn ℝ)
2117, 210syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
212 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
213 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
214209, 211, 9, 9, 10, 212, 213ofval 6804 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
215207, 214breqtrrd 4611 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
216215ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
217 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗))
218217fveq2d 6107 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
219218cbvmptv 4678 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
220 itg2add.f3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
221 itg2add.g3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
222220, 221readdcld 9948 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
22398fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))))
22424, 72itg1add 23274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
225223, 224eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
226 itg1cl 23258 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
22724, 226syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
228 itg1cl 23258 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
22972, 228syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
230220adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
231221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2326adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
233 icossicc 12131 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
234 fss 5969 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
235232, 233, 234sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2361, 6, 16, 25, 164itg2i1fseqle 23327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘𝑟𝐹)
237 itg2ub 23306 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
238235, 24, 236, 237syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
2397adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
240 fss 5969 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
241239, 233, 240sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2422, 7, 17, 73, 173itg2i1fseqle 23327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘𝑟𝐺)
243 itg2ub 23306 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟𝐺) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
244241, 72, 242, 243syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
245227, 229, 230, 231, 238, 244le2addd 10525 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
246225, 245eqbrtrd 4605 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
247246ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
248 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘))
249248fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)))
250249breq1d 4593 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
251250rspccva 3281 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
252247, 251sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2533, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252itg2i1fseq2 23329 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)))
254 1zzd 11285 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
255 eqid 2610 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))
2561, 6, 16, 25, 164, 255, 220itg2i1fseq3 23330 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) ⇝ (∫2𝐹))
25718mptex 6390 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
258257a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
259 eqid 2610 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))
2602, 7, 17, 73, 173, 259, 221itg2i1fseq3 23330 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) ⇝ (∫2𝐺))
261 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑚))
262261fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃𝑘)) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
263 fvex 6113 . . . . . 6 (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ V
264262, 255, 263fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
265264adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
266227recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℂ)
267265, 266eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
268 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑚))
269268fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄𝑘)) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
270 fvex 6113 . . . . . 6 (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ V
271269, 259, 270fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
272271adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
273229recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℂ)
274272, 273eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
275 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
276275fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
277 fvex 6113 . . . . . 6 (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
278276, 219, 277fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
279278adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
280265, 272oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
281225, 279, 2803eqtr4d 2654 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)))
282162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281climadd 14210 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
283 climuni 14131 . 2 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
284253, 282, 283syl2anc 691 1 (𝜑 → (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048  [,]cicc 12049   ⇝ cli 14063  MblFncmbf 23189  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191  0𝑝c0p 23242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  itg2add  23332
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