Theorem acni2 8752

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		elpw2g 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
3	2	anbi1d 737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 3	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
5	4	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
6	5	biimpar 501	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	fmpt 6289	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
9	6, 8	sylib 207	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10		acni 8751	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	9, 10	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
12		nffvmpt1 6111	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
13	12	nfel2 2767	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
14		nfv 1830	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑥))
16		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
17	15, 16	eleq12d 2682	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)))
18	13, 14, 17	cbvral 3143	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
19		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
20		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
22		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
23	21, 22	ssexd 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
24	7	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	20, 23, 24	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	25	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
28	27	adantrd 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
29	28	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
30	29	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
31		ralbi 3050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
33	32	biimpa 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		ssel 3562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
36	35	ral2imi 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
37	19, 33, 36	sylc 63	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋)
38		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
39	38	eleq1d 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋))
40	39	rspccva 3281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
41	37, 40	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
42		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))
43	41, 42	fmptd 6292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋)
44		simpll 786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
45		acnrcl 8748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
47		fex2 7014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ AC 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
48	43, 46, 44, 47	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
49		fvex 6113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
50	15, 42, 49	fvmpt 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
51	50	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
52	51	ralbiia 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
53	33, 52	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
54	43, 53	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55		feq1 5939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋))
56		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥))
57	56	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
58	57	ralbidv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
59	55, 58	anbi12d 743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
60	59	spcegv 3267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
61	48, 54, 60	sylc 63	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))
62	61	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
63	18, 62	syl5bi 231	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
64	63	exlimdv 1848	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
65	11, 64	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  AC wacn 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-acn 8651

This theorem is referenced by:  acni3  8753  acndom  8757  acnnum  8758  acndom2  8760  dfacacn  8846