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Theorem acni2 8428
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, g, A    B, g    g, X, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem acni2
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4152 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( B  e.  ~P X  /\  B  =/=  (/) ) )
2 elpw2g 4610 . . . . . . . 8  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( B  e.  ~P X  <->  B  C_  X
) )
32anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( ( B  e.  ~P X  /\  B  =/=  (/) )  <->  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
41, 3syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
54ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
65biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
87fmpt 6043 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
96, 8sylib 196 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
10 acni 8427 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )  ->  E. f A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )
119, 10syldan 470 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. f A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )
12 nffvmpt1 5874 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
1312nfel2 2647 . . . . 5  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
14 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ y ( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )
15 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
f `  y )  =  ( f `  x ) )
16 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1715, 16eleq12d 2549 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  y
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <-> 
( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
1813, 14, 17cbvral 3084 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )
19 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )
20 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  x  e.  A
)
21 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  X  e. AC  A )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  B  C_  X
)
2321, 22ssexd 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  _V )
247fvmpt2 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  =  B )
2625eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  ( ( f `
 x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( f `  x )  e.  B
) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  X  ->  ( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
2827adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
2928ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  A  ( (
f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) )
31 ralbi 2993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
( f `  x
)  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3332biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
34 ssel 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  X  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  X ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  X ) )
3635ral2imi 2852 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X ) )
3719, 33, 36sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X )
38 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
3938eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  X  <->  ( f `  y )  e.  X
) )
4039rspccva 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  y
)  e.  X )
4137, 40sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  X )
42 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  |->  ( f `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )
4341, 42fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X )
44 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  X  e. AC  A )
45 acnrcl 8424 . . . . . . . 8  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A  e.  _V )
47 fex2 6740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : A --> X  /\  A  e.  _V  /\  X  e. AC  A )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  e.  _V )
4843, 46, 44, 47syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e. 
_V )
49 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
5015, 42, 49fvmpt 5951 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
5150eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x )  e.  B  <->  ( f `  x )  e.  B ) )
5251ralbiia 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
5333, 52sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x )  e.  B
)
5443, 53jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( f `
 y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
55 feq1 5713 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( g : A --> X 
<->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : A --> X ) )
56 fveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x ) )
5756eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( g `  x )  e.  B  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
5857ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
5955, 58anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) ) )
6059spcegv 3199 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) ) )
6148, 54, 60sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) )
6261ex 434 . . . 4  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6318, 62syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6463exlimdv 1700 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. f A. y  e.  A  (
f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6511, 64mpd 15 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  AC wacn 8320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-map 7423  df-acn 8324
This theorem is referenced by:  acni3  8429  acndom  8433  acnnum  8434  acndom2  8436  dfacacn  8522
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