Theorem hashsng 13020

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11284	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 7922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfi 7923	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
5		snfi 7923	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
6		hashen 12997	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((#‘{𝐴}) = (#‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((#‘{𝐴}) = (#‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
8	3, 7	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝐴}) = (#‘{1}))
9		1nn0 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		hashfz1 12996	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (#‘(1...1)) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘(1...1)) = 1
12		fzsn 12254	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	12	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (#‘(1...1)) = (#‘{1}))
14	11, 13	syl5reqr 2659	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (#‘{1}) = 1)
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (#‘{1}) = 1
16	8, 15	syl6eq 2660	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  1c1 9816  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashen1  13021  hashrabrsn  13022  hashrabsn01  13023  hashunsng  13042  hashprg  13043  hashprgOLD  13044  elprchashprn2  13045  hashdifsn  13063  hashsn01  13065  hash1snb  13068  hashmap  13082  hashfun  13084  hashbclem  13093  hashbc  13094  hashf1  13098  hash2prde  13109  hash2pwpr  13115  hashge2el2dif  13117  brfi1indlem  13133  s1len  13238  ackbijnn  14399  phicl2  15311  dfphi2  15317  vdwlem8  15530  ramcl  15571  cshwshashnsame  15648  symg1hash  17638  pgp0  17834  odcau  17842  sylow2a  17857  sylow3lem6  17870  prmcyg  18118  gsumsnfd  18174  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295  pgpfaclem2  18304  0ring01eqbi  19094  rng1nnzr  19095  fta1glem2  23730  fta1blem  23732  fta1lem  23866  vieta1lem2  23870  vieta1  23871  vmappw  24642  umgredgnlp  25818  usgraedgprv  25905  usgra1v  25919  uvtxnm1nbgra  26022  constr1trl  26118  1pthonlem1  26119  1pthonlem2  26120  1pthon  26121  vdgr1d  26430  vdgr1b  26431  rusgranumwlkb0  26480  usgreghash2spotv  26593  ex-hash  26702  esumcst  29452  cntnevol  29618  coinflippv  29872  ccatmulgnn0dir  29945  ofcccat  29946  derang0  30405  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  lfuhgr1v0e  40480  usgr1vr  40481  uvtxanm1nbgr  40631  1hevtxdg1  40721  1egrvtxdg1  40725  lfgrwlkprop  40896  rusgrnumwwlkb0  41174  eupth2eucrct  41385  fusgreghash2wspv  41499  0ringdif  41660  c0snmhm  41705