Theorem nn0p1nn 11209

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 10909. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10908	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 11201	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  elnn0nn  11212  elz2  11271  peano5uzi  11342  fseq1p1m1  12283  fzonn0p1  12411  nn0ennn  12640  expnbnd  12855  faccl  12932  facdiv  12936  facwordi  12938  faclbnd  12939  facubnd  12949  bcm1k  12964  bcp1n  12965  bcp1nk  12966  bcpasc  12970  hashf1  13098  fz1isolem  13102  wrdind  13328  wrd2ind  13329  ccats1swrdeqbi  13349  isercoll  14246  isercoll2  14247  iseralt  14263  bcxmas  14406  climcndslem1  14420  fprodser  14518  fallfacval4  14613  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  efcllem  14647  ruclem7  14804  ruclem8  14805  ruclem9  14806  sadcp1  15015  smupp1  15040  prmfac1  15269  iserodd  15378  pcfac  15441  1arith  15469  4sqlem12  15498  vdwlem11  15533  vdwlem12  15534  vdwlem13  15535  ramub1  15570  ramcl  15571  prmop1  15580  sylow1lem1  17836  efgsrel  17970  efgsp1  17973  lebnumii  22573  lmnn  22869  vitalilem4  23186  plyco  23801  dgrcolem2  23834  dgrco  23835  advlogexp  24201  cxpmul2  24235  atantayl3  24466  leibpilem2  24468  leibpi  24469  leibpisum  24470  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem2  24474  log2ub  24476  birthdaylem2  24479  harmoniclbnd  24535  harmonicbnd4  24537  fsumharmonic  24538  facgam  24592  chpp1  24681  chtublem  24736  bcmono  24802  bcp1ctr  24804  gausslemma2dlem3  24893  2lgslem1a  24916  chtppilimlem1  24962  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlema  24977  dchrisumlem1  24978  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem3  25008  selberg2lem  25039  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem6a  25071  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemg  25087  pntlemj  25092  pntlemf  25094  qabvle  25114  ostth2lem2  25123  wwlknred  26251  wwlknredwwlkn  26254  wwlknredwwlkn0  26255  eupath2lem3  26506  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  archiabllem1a  29076  lmatfvlem  29209  signshnz  29994  subfacval2  30423  erdsze2lem2  30440  cvmliftlem7  30527  faclimlem1  30882  faclimlem2  30883  faclimlem3  30884  faclim  30885  faclim2  30887  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem12  32591  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem28  32607  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  heiborlem4  32783  heiborlem6  32785  diophin  36354  rexrabdioph  36376  2rexfrabdioph  36378  3rexfrabdioph  36379  4rexfrabdioph  36380  6rexfrabdioph  36381  7rexfrabdioph  36382  elnn0rabdioph  36385  dvdsrabdioph  36392  irrapxlem4  36407  irrapxlem5  36408  2nn0ind  36528  jm2.27a  36590  itgpowd  36819  bccp1k  37562  binomcxplemrat  37571  binomcxplemfrat  37572  recnnltrp  38534  rpgtrecnn  38538  wallispilem3  38960  stirlinglem5  38971  vonioolem1  39571  ccats1pfxeqrex  40285  ccats1pfxeqbi  40294  wlkOnwlk1l  40871  wwlksnred  41098  wwlksnredwwlkn  41101  wwlksnredwwlkn0  41102  wwlksnwwlksnon  41121  fllog2  42160  blennnelnn  42168  dignn0flhalflem2  42208