Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfvlem 29209
Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3 𝐼𝑁
lmatfvlem.4 𝐽𝑁
lmatfvlem.5 (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6 (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7 (𝑊𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lmatfvlem (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lmatfval.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4 lmatfval.1 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
5 lmatfval.2 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
6 lmatfvlem.5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) = 𝐼
7 lmatfvlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℕ0
8 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) ∈ ℕ
106, 9eqeltrri 2685 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ
11 nnge1 10923 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐼
13 lmatfvlem.3 . . . . . 6 𝐼𝑁
1412, 13pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁))
16 nnz 11276 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
1710, 16ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℤ
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
19 1z 11284 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
212nnzd 11357 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
22 elfz 12203 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2415, 23mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
25 lmatfvlem.6 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) = 𝐽
26 lmatfvlem.2 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ ℕ0
27 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) ∈ ℕ
2925, 28eqeltrri 2685 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℕ
30 nnge1 10923 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐽
32 lmatfvlem.4 . . . . . 6 𝐽𝑁
3331, 32pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁))
35 nnz 11276 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
3629, 35ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℤ
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
38 elfz 12203 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
3937, 20, 21, 38syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
4034, 39mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
411, 2, 3, 4, 5, 24, 40lmatfval 29208 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
427nn0cni 11181 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℂ
43 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4442, 43pncan3oi 10176 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
456oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
4644, 45eqtr3i 2634 . . . . . 6 𝐾 = (𝐼 − 1)
4746fveq2i 6106 . . . . 5 (𝑊𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48 lmatfvlem.7 . . . . 5 (𝑊𝐾) = 𝑋
4947, 48eqtr3i 2634 . . . 4 (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
5049a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
5150fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
5226nn0cni 11181 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
5352, 43pncan3oi 10176 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
5425oveq1i 6559 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
5553, 54eqtr3i 2634 . . . . 5 𝐿 = (𝐽 − 1)
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 = (𝐽 − 1))
5756fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58 lmatfvlem.8 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
5957, 58eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
6041, 51, 593eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  litMatclmat 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lmat 29206
This theorem is referenced by:  lmat22e12  29213  lmat22e21  29214  lmat22e22  29215
  Copyright terms: Public domain W3C validator