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Theorem wwlksnred 41098
 Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksnred (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11210 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 iswwlksn 41041 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2610 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
64, 5iswwlks 41039 . . . 4 (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7 simp1 1054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
983ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
101nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1110lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12113ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14133ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1512, 14mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))
16 swrdn0 13282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
177, 9, 15, 16syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
18173exp 1256 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
19183ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
2019imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
2120impcom 445 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
22 swrdcl 13271 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
23223ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
271nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
28 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
3026, 29sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
3130oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3231raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
35 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
37 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3837lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
3934, 36, 383jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
4039ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
41 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
4240, 41sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
43 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
45 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49 nn0fz0 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
501, 49sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5150ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
52 fzelp1 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
54 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5554eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5853, 57mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
60 fzossfzop1 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
6160sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6261ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6362imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
64 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
6548, 59, 63, 64syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
6665eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊𝑖) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖))
67 fzofzp1 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
69 fzval3 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
7069eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7134, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7271eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7372ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7568, 74mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
76 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
7748, 59, 75, 76syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
7877eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)))
7966, 78preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))})
8079eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8180biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8281ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8346, 82syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8433, 83sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8584imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
86 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8786, 28pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8887oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
8988ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
9190raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9285, 91mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
931ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
94 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
96 swrd0len0 13288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
9747, 93, 95, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
9897oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
9998oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
10099raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10292, 101mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
103102exp31 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
104103com23 84 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
105104imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1061053adant1 1072 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107106expdimp 452 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108107impcom 445 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1094, 5iswwlks 41039 . . . . . . 7 ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
11021, 25, 108, 109syl3anbrc 1239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
111 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
113 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1141, 112, 11, 113syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
116115, 56mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
117116anim2i 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
118117exp32 629 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))))
1191183ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))))
120119imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
121120impcom 445 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
122 swrd0len 13274 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
123121, 122syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
124 iswwlksn 41041 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
125124adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
126110, 123, 125mpbir2and 959 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
127126expcom 450 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))
1286, 127sylanb 488 . . 3 ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))
129128com12 32 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))
1303, 129sylbid 229 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  WWalkScwwlks 41028   WWalkSN cwwlksn 41029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034 This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  41100  wwlksnredwwlkn  41101
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