MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsrel 17970
Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsrel (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝑆𝐹))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsrel
Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 17966 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
87simp1bi 1069 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9 eldifsn 4260 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹 ≠ ∅))
10 lennncl 13180 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹 ≠ ∅) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
119, 10sylbi 206 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
12 fzo0end 12426 . . . 4 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
138, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
14 nnm1nn0 11211 . . . . 5 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
158, 11, 143syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
17 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
1817breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘0)))
1916, 18imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0))))
2019imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0)))))
21 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
22 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑖 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑖))
2322breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹𝑖)))
2421, 23imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))))
2524imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)))))
26 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
27 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
2827breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
2926, 28imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
3029imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
32 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
3332breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
3431, 33imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
3534imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))))
361, 2efger 17954 . . . . . . . 8 Er 𝑊
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → Er 𝑊)
38 eldifi 3694 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39 wrdf 13165 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑊)
408, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑊)
4140ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
4237, 41erref 7649 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘0) (𝐹‘0))
4342ex 449 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0)))
44 elnn0uz 11601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘0))
45 peano2fzor 12441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4644, 45sylanb 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
47463adant1 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
48473expia 1259 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
4948imim1d 80 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))))
50403ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑊)
5150, 47ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ 𝑊)
52 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
53523ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
54 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
5553, 54syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘1))
56 elfzolt2b 12350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(#‘𝐹)))
57563ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(#‘𝐹)))
58 elfzo3 12355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(#‘𝐹))))
5955, 57, 58sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
607simp3bi 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
61603ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
62 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑖 + 1) − 1))
6362fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
6463fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
6564rneqd 5274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
6627, 65eleq12d 2682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
6766rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
6859, 61, 67sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
69 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℂ)
70693ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
71 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
72 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
7370, 71, 72sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
7473fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹𝑖))
7574fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹𝑖)))
7675rneqd 5274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹𝑖)))
7768, 76eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹𝑖)))
781, 2, 3, 4efgi2 17961 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹𝑖))) → (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7951, 77, 78syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1)))
8036a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → Er 𝑊)
8180ertr 7644 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (((𝐹‘0) (𝐹𝑖) ∧ (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
8279, 81mpan2d 706 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑖) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
83823expia 1259 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑖) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8483a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8549, 84syld 46 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8685expcom 450 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
8786a2d 29 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
8820, 25, 30, 35, 43, 87nn0ind 11348 . . . 4 (((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
8915, 88mpcom 37 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
9013, 89mpd 15 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
911, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 17967 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
9290, 91breqtrrd 4611 1 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝑆𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  cdif 3537  c0 3874  {csn 4125  cop 4131  cotp 4133   ciun 4455   class class class wbr 4583  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   Er wer 7626  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~FG cefg 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444  df-efg 17945
This theorem is referenced by:  efgredeu  17988  efgred2  17989
  Copyright terms: Public domain W3C validator