Theorem elnn0uz 11601

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11598	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2680	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  0cc0 9815  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12300  4fvwrd4  12328  2ffzeq  12329  elfzo0  12376  elfzonn0  12380  elfzom1elp1fzo  12402  cardfz  12631  nn0sinds  12650  hashfz0  13079  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2  13340  swrdccatin12lem3  13341  swrdccatin12  13342  cshwidxmod  13400  scshwfzeqfzo  13423  bcxmas  14406  mertenslem2  14456  risefacp1  14599  fallfacp1  14600  pwp1fsum  14952  bitsmod  14996  4sqlem19  15505  gsmsymgrfixlem1  17670  gsmsymgreqlem2  17674  efgsrel  17970  gsummptfzsplit  18155  gsummptfzsplitl  18156  pmatcollpw3fi  20409  cpmadugsumlemF  20500  wlkn0  26055  spthonepeq  26117  constr3pthlem3  26185  wwlknext  26252  clwlkisclwwlklem2a1  26307  clwwlkel  26321  wwlkext2clwwlk  26331  clwlkf1clwwlklem  26376  sseqfn  29779  sseqf  29781  bccolsum  30878  knoppcnlem7  31659  knoppcnlem11  31663  knoppndvlem15  31687  stoweidlem34  38927  1fzopredsuc  39947  iccpartgt  39965  iccpartleu  39966  iccpartgel  39967  fmtnorec2lem  39992  pfxccatin12lem2  40287  pfxccatin12  40288  subsubelfzo0  40359  resunimafz0  40368  1wlkn0  40825  1wlkp1lem8  40889  1wlkp1  40890  spthonepeq-av  40958  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0lem7  41019  wwlksnext  41099  clwlkclwwlklem2a1  41201  clwwlksel  41221  wwlksext2clwwlk  41231  clwlksf1clwwlklem  41275  eupthp1  41384  altgsumbcALT  41924  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212