Theorem elnnuz 11600

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2680	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  1c1 9816  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  11606  uznnssnn  11611  uzsubsubfz1  12235  elfz1end  12242  fznn  12278  prednn  12331  fzo1fzo0n0  12386  elfzonlteqm1  12410  nnsinds  12649  faclbnd  12939  bcn1  12962  fz1isolem  13102  relexpsucnnr  13613  geoisum1  14449  geoisum1c  14450  fprodfac  14542  rpnnen2lem5  14786  rpnnen2lem12  14793  dvdsfac  14886  prmind2  15236  prmunb  15456  prmop1  15580  fvprmselelfz  15586  prmgaplem7  15599  structfn  15708  gexcl3  17825  cayhamlem1  20490  1stckgenlem  21166  radcnvlem2  23972  dvradcnv  23979  logfac  24151  logtayllem  24205  logtayl  24206  leibpi  24469  prmorcht  24704  pclogsum  24740  bpos1  24808  2lgslem1a  24916  2sqlem10  24953  axlowdimlem13  25634  axlowdim1  25639  constr3trllem3  26180  opsqrlem5  28387  iuninc  28761  esumfsupre  29460  esumcvg  29475  ballotlemfp1  29880  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlem4  29887  ballotlemic  29895  ballotlem1c  29896  cvmliftlem10  30530  climuzcnv  30819  bcprod  30877  faclim  30885  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem30  32609  mblfinlem2  32617  seqpo  32713  incsequz  32714  incsequz2  32715  elnnrabdioph  36389  expdiophlem1  36606  fmuldfeq  38650  fmul01lt1  38653  stoweidlem3  38896  stoweidlem26  38919  stoweidlem42  38935  stoweidlem48  38941  wallispilem3  38960  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  wallispi2  38966  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem12  38978  iccpartgtl  39964  fmtno4prmfac  40022  altgsumbcALT  41924