MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnuz Structured version   Unicode version

Theorem elnnuz 11114
Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnuz  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)

Proof of Theorem elnnuz
StepHypRef Expression
1 nnuz 11113 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21eleq2i 2545 1  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1767   ` cfv 5586   1c1 9489   NNcn 10532   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  eluzge3nn  11119  uznnssnn  11124  uzsubsubfz1  11704  elfz1end  11711  fznn  11743  fzo1fzo0n0  11828  elfzonlteqm1  11855  faclbnd  12332  bcn1  12355  fz1isolem  12472  wrdeqswrdlsw  12633  geoisum1  13647  geoisum1c  13648  rpnnen2lem5  13809  rpnnen2  13816  dvdsfac  13896  isprm3  14081  prmind2  14083  prmunb  14287  structfn  14499  gexcl3  16403  cayhamlem1  19134  1stckgenlem  19789  radcnvlem2  22543  dvradcnv  22550  logfac  22713  logtayllem  22768  logtayl  22769  leibpi  23001  prmorcht  23180  pclogsum  23218  bpos1  23286  2sqlem10  23377  axlowdimlem13  23933  axlowdim1  23938  constr3trllem3  24328  opsqrlem5  26739  iuninc  27101  esumfsupre  27717  esumcvg  27732  ballotlemfp1  28070  ballotlemfc0  28071  ballotlemfcc  28072  ballotlem4  28077  ballotlemic  28085  ballotlem1c  28086  cvmliftlem10  28379  climuzcnv  28512  fprodfac  28679  faclim  28748  prednn  28858  nnsinds  28874  mblfinlem2  29629  seqpo  29843  incsequz  29844  incsequz2  29845  elnnrabdioph  30344  expdiophlem1  30567  fmuldfeq  31133  fmul01lt1  31136  stoweidlem3  31303  stoweidlem26  31326  stoweidlem42  31342  stoweidlem48  31348  wallispilem3  31367  wallispilem4  31368  wallispi  31370  wallispi2lem1  31371  wallispi2lem2  31372  wallispi2  31373  stirlinglem7  31380  stirlinglem10  31383  stirlinglem12  31385  altgsumbcALT  32006
  Copyright terms: Public domain W3C validator