Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for radcnvlt1 23976, radcnvle 23978. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
psergf.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑌)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem2 (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11598 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 11185 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4 id 22 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
5 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺𝑋)‘𝑚) = ((𝐺𝑋)‘𝑘))
65fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
74, 6oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
8 eqid 2610 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
9 ovex 6577 . . . . 5 (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6191 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
1110adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
12 nn0re 11178 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
14 pser.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
15 radcnv.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
16 psergf.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1714, 15, 16psergf 23970 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
1817ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
1918abscld 14023 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
2013, 19remulcld 9949 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
2111, 20eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
22 fvco3 6185 . . . 4 (((𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
2317, 22sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
2419recnd 9947 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
26 radcnvlem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
27 radcnvlem2.a . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
28 radcnvlem2.c . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑌)) ∈ dom ⇝ )
297cbvmptv 4678 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
3014, 15, 16, 26, 27, 28, 29radcnvlem1 23971 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
31 1red 9934 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32 1red 9934 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ ℝ)
33 elnnuz 11600 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
34 nnnn0 11176 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3533, 34sylbir 224 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3635, 13sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3735, 19sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
3818absge0d 14031 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
3935, 38sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
40 eluzle 11576 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑘)
4140adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
4232, 36, 37, 39, 41lemul1ad 10842 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
43 absidm 13911 . . . . . 6 (((𝐺𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
4418, 43syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
4523fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
4624mulid2d 9937 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
4744, 45, 463eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
4835, 47sylan2 490 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
4911oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))))
5020recnd 9947 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
5150mulid2d 9937 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
5249, 51eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
5335, 52sylan2 490 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
5442, 48, 533brtr4d 4615 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
551, 3, 21, 25, 30, 31, 54cvgcmpce 14391 1 (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  radcnvlem3  23973  radcnvlt1  23976
 Copyright terms: Public domain W3C validator