Theorem fmul01lt1 38653

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1.1	⊢ Ⅎ𝑖𝐵
fmul01lt1.2	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
fmul01lt1.3	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
fmul01lt1.4	⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
fmul01lt1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01lt1.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)
2		nfv 1830	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
3		fmul01lt1.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑀
5	3, 4	nffv 6110	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀)
6		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 <
7		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐸
8	5, 6, 7	nfbr 4629	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀) < 𝐸
9		fmul01lt1.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
10		fmul01lt1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
11		nfv 1830	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑗
13	9, 12	nffv 6110	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗)
14		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 <
15		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
16	13, 14, 15	nfbr 4629	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗) < 𝐸
17	10, 11, 16	nf3an 1819	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
18		fmul01lt1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19		1zzd 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20		fmul01lt1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		elnnuz 11600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
22	20, 21	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
23	22	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fmul01lt1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
25	24	fnvinran 38196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
26	25	3ad2antl1 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
27		fmul01lt1.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
28	27	3ad2antl1 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
29		fmul01lt1.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
30	29	3ad2antl1 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
31		fmul01lt1.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	31	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33		simp2 1055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34		simp3 1056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
35	9, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34	fmul01lt1lem2 38652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)
36	35	3exp 1256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)))
37	2, 8, 36	rexlimd 3008	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ...cfz 12197  seqcseq 12663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  38941