Theorem prmop1 15580

Description: The primorial of a successor. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmop1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))

Proof of Theorem prmop1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11210	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		prmoval 15575	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		nn0p1nn 11209	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5		elnnuz 11600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	sylib 207	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
7		elfzelz 12213	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11359	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10		1cnd 9935	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	ifcld 4081	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
12		eleq1 2676	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℙ))
13		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
14	12, 13	ifbieq1d 4059	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1))
15	6, 11, 14	fprodm1 14536	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
16		nn0cn 11179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
17		pncan1 10333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
20	19	prodeq1d 14490	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
21	20	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
22		prmoval 15575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
23	22	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p‘𝑁))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p‘𝑁))
25	24	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
26		iftrue 4042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = (𝑁 + 1))
27	26	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)))
28		iftrue 4042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
29	27, 28	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1))))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1))))
31	25, 30	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
32		fzfid 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
33		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
34		1nn 10908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℕ)
36	33, 35	ifcld 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
38	32, 37	fprodnncl 14524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
39	38	nncnd 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
40	39	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
41	40	mulid1d 9936	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
42	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
43	41, 42	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p‘𝑁))
44		iffalse 4045	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = 1)
45	44	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1))
46		iffalse 4045	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) = (#p‘𝑁))
47	45, 46	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p‘𝑁)))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p‘𝑁)))
49	43, 48	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
50	31, 49	pm2.61ian 827	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
51	21, 50	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
52	3, 15, 51	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ∏cprod 14474  ℙcprime 15223  #_pcprmo 15573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-prmo 15574

This theorem is referenced by:  prmonn2  15581