stoweidlem26 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > stoweidlem26		Structured version Visualization version GIF version

Theorem stoweidlem26 38919

Description: This lemma is used to prove that there is a function 𝑔 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92: this lemma proves that g(t) > ( j - 4 / 3 ) * ε. Here 𝐿 is used to represnt j in the paper, 𝐷 is used to represent A in the paper, 𝑆 is used to represent t, and 𝐸 is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stoweidlem26.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem26.2	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
stoweidlem26.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem26.4	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem26.5	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
stoweidlem26.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem26.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
stoweidlem26.8	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
stoweidlem26.9	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝐷‘𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
stoweidlem26.10	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem26.11	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem26.12	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem26.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem26.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
stoweidlem26.15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))

**Assertion**
Ref	Expression
stoweidlem26	⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆))

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑡,𝐸 𝑖,𝐿,𝑗,𝑡 𝑖,𝑁,𝑗,𝑡 𝑆,𝑖,𝑡 𝜑,𝑖 𝑗,𝐹 𝑇,𝑗,𝑡 𝑡,𝑋 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑡,𝑗) 𝐵(𝑡,𝑖,𝑗) 𝐷(𝑡,𝑖,𝑗) 𝑆(𝑗) 𝑇(𝑖) 𝐹(𝑡,𝑖) 𝑋(𝑖,𝑗)

**Proof of Theorem stoweidlem26**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = 1 → (𝐿 ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
3	1, 2	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = 1 → 𝐿 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		4re 10974	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 4 ∈ ℝ)
7		3re 10971	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 3 ∈ ℝ)
9		3ne0 10992	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 3 ≠ 0)
11	6, 8, 10	redivcld 10732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈ ℝ)
12	4, 11	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
13		stoweidlem26.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
14	13	rpred 11748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐸 ∈ ℝ)
16	12, 15	remulcld 9949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
17		0red 9920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℝ)
18		fzfid 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
19	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
20		stoweidlem26.13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
21		stoweidlem26.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝐷‘𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
22		eldif 3550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ((𝐷‘𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))) ↔ (𝑆 ∈ (𝐷‘𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
23	21, 22	sylib 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐷‘𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
24	23	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷‘𝐿))
25		1e0p1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = (0 + 1)
26	25	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
27		0z 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℤ
28		fzp1ss 12262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
30	26, 29	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31		stoweidlem26.8	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
32	30, 31	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝑁))
33		stoweidlem26.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
34		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
36		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝐿 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝐿 − (1 / 3)))
37	36	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝐿 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))
38	37	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝐿 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
39	38	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝐿 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
40		stoweidlem26.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
41	39, 40	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘𝐿) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
42	32, 35, 41	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐿) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
43	24, 42	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
44		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑆
45		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
46		stoweidlem26.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
47	46, 44	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑆)
48		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
49		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)
50	47, 48, 49	nfbr 4629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)
51		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑆))
52	51	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
53	44, 45, 50, 52	elrabf 3329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
54	43, 53	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
55	54	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇)
56	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
57	20, 56	ffvelrnd 6268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
58	19, 57	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
59	18, 58	fsumrecl 14312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
61	5, 7, 9	redivcli 10671	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 3) ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈ ℝ)
63	4, 62	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
64	4	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℂ)
65	64	subid1d 10260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
66		3cn 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
67	66, 9	dividi 10637	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / 3) = 1
68		3lt4 11074	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
69		3pos 10991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
70	7, 5, 7, 69	ltdiv1ii 10832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 < 4 ↔ (3 / 3) < (4 / 3))
71	68, 70	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / 3) < (4 / 3)
72	67, 71	eqbrtrri 4606	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < (4 / 3)
73		breq1 4586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = 1 → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 / 3)))
74	73	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 / 3)))
75	72, 74	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐿 < (4 / 3))
76	65, 75	eqbrtrd 4605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) < (4 / 3))
77	4, 17, 62, 76	ltsub23d 10511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) < 0)
78	13	rpgt0d 11751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
79	78	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 0 < 𝐸)
80		mulltgt0 38204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐿 − (4 / 3)) < 0) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0)
81	63, 77, 15, 79, 80	syl22anc 1319	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0)
82		0cn 9911	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
83		fsumconst 14364	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((#‘(0...𝑁)) · 0))
84	18, 82, 83	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((#‘(0...𝑁)) · 0))
85		hashcl 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0...𝑁) ∈ Fin → (#‘(0...𝑁)) ∈ ℕ₀)
86		nn0cn 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘(0...𝑁)) ∈ ℕ₀ → (#‘(0...𝑁)) ∈ ℂ)
87	18, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(0...𝑁)) ∈ ℂ)
88	87	mul01d 10114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(0...𝑁)) · 0) = 0)
89	84, 88	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0)
90	89	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0)
91		0red 9920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
92	13	rpge0d 11752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
93	92	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐸)
94		stoweidlem26.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
95		nfv 1830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑖 ∈ (0...𝑁)
96	94, 95	nfan 1816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))
97		nfv 1830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)
98	96, 97	nfim 1813	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
99		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) = ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
100	99	breq2d 4595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
101	100	imbi2d 329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
102		stoweidlem26.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
103	102	3expia 1259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
104	103	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
105	44, 98, 101, 104	vtoclgaf 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
106	56, 105	mpcom 37	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
107	19, 57, 93, 106	mulge0d 10483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
108	18, 91, 58, 107	fsumle 14372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
109	108	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
110	90, 109	eqbrtrrd 4607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
111	16, 17, 60, 81, 110	ltletrd 10076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
112		elfzelz 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
113		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
114	31, 112, 113	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
115	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
116	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
117	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
118	115, 116, 117	redivcld 10732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
119	114, 118	resubcld 10337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
120	119, 14	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
121	120	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
122	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
123		stoweidlem26.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
124	14, 123	nndivred 10946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
125	122, 124	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
126	114, 122	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
127	125, 126	remulcld 9949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
128	14, 127	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈ ℝ)
129	128	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈ ℝ)
130		fzfid 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin)
131	31, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
132		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
134	131, 133	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
135	123	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
136	131	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
137		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
139	136, 138	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
140	123	nnred 10912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
141		0le2 10988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 2
142		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
143	142, 138, 136	lesub2d 10514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0)))
144	141, 143	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0))
145	131	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
146	145	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
147	144, 146	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝐿)
148		elfzle2 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝑁)
149	31, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
150	139, 136, 140, 147, 149	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)
151	134, 135, 150	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
152		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝐿 − 2)) ↔ ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
153	151, 152	sylibr 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝐿 − 2)))
154		fzss2 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝐿 − 2)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
156	155	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
157	156, 57	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
158	130, 157	fsumrecl 14312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
159	14, 158	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
160	159	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
161	14, 126	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
162	14, 14	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ)
163	161, 162	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ)
164	126, 123	nndivred 10946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
165	162, 164	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
166	161, 165	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))) ∈ ℝ)
167	126, 14	resubcld 10337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℝ)
168	122, 14	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℝ)
169	1, 7, 9	redivcli 10671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
171		stoweidlem26.12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
172	14, 170, 122, 171	ltadd2dd 10075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) < (1 + (1 / 3)))
173		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
174	66, 173, 66, 9	divdiri 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
175		3p1e4 11030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 1) = 4
176	175	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
177	67	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
178	174, 176, 177	3eqtr3ri 2641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + (1 / 3)) = (4 / 3)
179	172, 178	syl6breq 4624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) < (4 / 3))
180	168, 118, 114, 179	ltsub2dd 10519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < (𝐿 − (1 + 𝐸)))
181	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
182	13	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
183	145, 181, 182	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) = (𝐿 − (1 + 𝐸)))
184	180, 183	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < ((𝐿 − 1) − 𝐸))
185	119, 167, 13, 184	ltmul1dd 11803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸))
186	145, 181	subcld 10271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℂ)
187	186, 182	subcld 10271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℂ)
188	182, 187	mulcomd 9940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸))
189	182, 186, 182	subdid 10365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
190	188, 189	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
191	185, 190	breqtrd 4609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
192		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
193		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
194	131, 192, 135, 193	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
195	31, 194	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
196	195	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
197		zlem1lt 11306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
198	131, 135, 197	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
199	196, 198	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) < 𝑁)
200	123	nngt0d 10941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
201		ltdiv1 10766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)))
202	126, 140, 140, 200, 201	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)))
203	199, 202	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁))
204	123	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
205	123	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
206	204, 205	dividd 10678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
207	203, 206	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1)
208	14, 14, 78, 78	mulgt0d 10071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐸 · 𝐸))
209		ltmul2 10753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 · 𝐸))) → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)))
210	164, 122, 162, 208, 209	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)))
211	207, 210	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1))
212	182, 182	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℂ)
213	212	mulid1d 9936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · 1) = (𝐸 · 𝐸))
214	211, 213	breqtrd 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < (𝐸 · 𝐸))
215	165, 162, 161, 214	ltsub2dd 10519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
216	120, 163, 166, 191, 215	lttrd 10077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
217	182, 204, 205	divcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ)
218	181, 217, 186	subdird 10366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
219	186	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐿 − 1)) = (𝐿 − 1))
220	219	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
221	218, 220	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
222	221	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))))
223	217, 186	mulcld 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) ∈ ℂ)
224	182, 186, 223	subdid 10365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))))
225	182, 204, 186, 205	div32d 10703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))
226	225	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
227	186, 204, 205	divcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
228	182, 182, 227	mulassd 9942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
229	226, 228	eqtr4d 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))
230	229	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
231	222, 224, 230	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
232	216, 231	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))))
233	232	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))))
234	181, 217	subcld 10271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ)
235		fsumconst 14364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin ∧ (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((#‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
236	130, 234, 235	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((#‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
237	236	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((#‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
238		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℤ)
239	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
240	239, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℤ)
241	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈ ℤ)
242	240, 241	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
243		elnnuz 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
244	123, 243	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
245		elfzp12 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
246	244, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
247	31, 246	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
248	247	orcanai 950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
249		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 1) = 2
250	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (1 + 1) = 2)
251	250	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
252	248, 251	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (2...𝑁))
253		elfzle1 12215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ (2...𝑁) → 2 ≤ 𝐿)
254	252, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ≤ 𝐿)
255	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ)
256	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈ ℝ)
257	255, 256	subge0d 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ≤ (𝐿 − 2) ↔ 2 ≤ 𝐿))
258	254, 257	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ (𝐿 − 2))
259	238, 242, 258	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐿 − 2)))
260		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐿 − 2)))
261	259, 260	sylibr 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
262		hashfz 13074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) → (#‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) + 1))
263	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (#‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) + 1))
264		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
265	264	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
266	145, 265	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℂ)
267	266	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) − 0) = (𝐿 − 2))
268	267	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = ((𝐿 − 2) + 1))
269	145, 265, 181	subadd23d 10293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 + (1 − 2)))
270	264, 173	negsubdi2i 10246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
271		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
272	271	negeqi 10153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(2 − 1) = -1
273	270, 272	eqtr3i 2634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 2) = -1
274	273	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 − 2) = -1)
275	274	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 + -1))
276	145, 181	negsubd 10277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + -1) = (𝐿 − 1))
277	275, 276	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 − 1))
278	268, 269, 277	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1))
279	278	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1))
280	263, 279	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (#‘(0...(𝐿 − 2))) = (𝐿 − 1))
281	280	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((#‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
282	186, 234	mulcomd 9940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
283	282	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
284	237, 281, 283	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
285		fzfid 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin)
286		fzn0 12226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅ ↔ (𝐿 − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
287	261, 286	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅)
288	125	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
289		simpll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝜑)
290	156	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
291	289, 290, 57	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
292	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ 𝑇)
293		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
294	293	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℝ)
295	294	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ ℝ)
296	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 / 3) ∈ ℝ)
297	295, 296	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
298	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐸 ∈ ℝ)
299	297, 298	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
300	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐿 ∈ ℝ)
301	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 2 ∈ ℝ)
302	300, 301	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
303	302, 296	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ)
304	303, 298	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
305		stoweidlem26.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
306	305, 55	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇))
307	306	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇))
308		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
309	307, 308	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
310		elfzle2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2))
311	310	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2))
312	295, 302, 296, 311	leadd1dd 10520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
313	14, 78	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
314	313	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
315		lemul1 10754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)))
316	297, 303, 314, 315	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)))
317	312, 316	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸))
318	114, 138	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
319	318, 170	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ)
320	319, 14	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
321	305, 55	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
322	126, 170	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (1 / 3)) ∈ ℝ)
323	322, 14	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
324		addid1 10095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 + 0) = 1)
325	324	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 ∈ ℂ → 1 = (1 + 0))
326	173, 325	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
327	181	subidd 10259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
328	327	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 0 = (1 − 1))
329	328	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = (1 + (1 − 1)))
330		addsubass 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 1) − 1) = (1 + (1 − 1)))
331	330	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (1 − 1)) = ((1 + 1) − 1))
332	181, 181, 181, 331	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1 + (1 − 1)) = ((1 + 1) − 1))
333	326, 329, 332	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 = ((1 + 1) − 1))
334	333	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) = (𝐿 − ((1 + 1) − 1)))
335	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
336	335	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) − 1) = (2 − 1))
337	336	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − ((1 + 1) − 1)) = (𝐿 − (2 − 1)))
338	145, 265, 181	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (2 − 1)) = ((𝐿 − 2) + 1))
339	334, 337, 338	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) = ((𝐿 − 2) + 1))
340	339	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)))
341	264, 66, 9	divcli 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
342	341	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 / 3) ∈ ℂ)
343	266, 181, 342	addsubassd 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))))
344	173, 66, 9	divcli 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
345		df-3 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 = (2 + 1)
346	345	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
347	264, 173, 66, 9	divdiri 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
348	346, 67, 347	3eqtr3ri 2641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
349	173, 341, 344, 348	subaddrii 10249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
350	349	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 − (2 / 3)) = (1 / 3))
351	350	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))) = ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
352	340, 343, 351	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
353	137, 7, 9	redivcli 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
354	353	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (2 / 3) ∈ ℝ)
355		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 2
356	7, 69	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
357	1, 137, 356	3pm3.2i 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
358		ltdiv1 10766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3)))
359	357, 358	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3)))
360	355, 359	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) < (2 / 3))
361	170, 354, 126, 360	ltsub2dd 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
362	352, 361	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
363	319, 322, 13, 362	ltmul1dd 11803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
364	23	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1)))
365	195	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐿)
366	140, 122	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
367	140	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
368	114, 140, 366, 196, 367	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝑁 + 1))
369	135	peano2zd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
370		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 + 1))))
371	131, 192, 369, 370	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 + 1))))
372	365, 368, 371	mpbir2and 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
373	145, 181	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) = 𝐿)
374		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0 + 1) = 1
375	374	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
376	375	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1)))
377	372, 373, 376	3eltr4d 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
378		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
379	131, 192	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
380		fzaddel 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
381	378, 135, 379, 192, 380	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
382	377, 381	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁))
383		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
384	33, 383	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
385		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → (𝑗 − (1 / 3)) = ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
386	385	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
387	386	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
388	387	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
389	388, 40	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘(𝐿 − 1)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
390	382, 384, 389	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐿 − 1)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
391	364, 390	neleqtrd 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
392		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)
393	47, 48, 392	nfbr 4629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)
394	51	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
395	44, 45, 393, 394	elrabf 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
396	391, 395	sylnib 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
397		ianor 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
398	396, 397	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
399		olc 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇))
400	399	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) → ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))))
401	55, 398, 400	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))))
402		orcom 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇))
403	402	anbi2i 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) ↔ ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇)))
404	401, 403	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇)))
405		pm4.43 964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇)))
406	404, 405	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
407	323, 321	ltnled 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑆) ↔ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
408	406, 407	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑆))
409	320, 323, 321, 363, 408	lttrd 10077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑆))
410	320, 321, 409	ltled 10064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆))
411	410	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆))
412	299, 304, 309, 317, 411	letrd 10073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆))
413		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸)
414	413, 48, 47	nfbr 4629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆)
415	51	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆)))
416	44, 45, 414, 415	elrabf 3329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆)))
417	292, 412, 416	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
418		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V)
419	33, 418	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V)
420	419	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V)
421		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + (1 / 3)) = (𝑖 + (1 / 3)))
422	421	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸))
423	422	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)))
424	423	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
425		stoweidlem26.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
426	424, 425	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V) → (𝐵‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
427	156, 420, 426	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐵‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
428	417, 427	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖))
429	151	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
430	429, 152	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝐿 − 2)))
431	430, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
432		simp2 1055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)))
433	431, 432	sseldd 3569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
434		elex 3185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖) → 𝑆 ∈ V)
435	434	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
436		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(0...𝑁)
437		nfrab1 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}
438	436, 437	nfmpt 4674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
439	425, 438	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
440		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑡𝑖
441	439, 440	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐵‘𝑖)
442	441	nfel2 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)
443	94, 95, 442	nf3an 1819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖))
444		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)
445	443, 444	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
446		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖) ↔ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)))
447	446	3anbi3d 1397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖))))
448	99	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
449	447, 448	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
450		stoweidlem26.15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
451	445, 449, 450	vtoclg1f 3238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ V → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
452	435, 451	mpcom 37	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
453	433, 452	syld3an2 1365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
454	428, 453	mpd3an3 1417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
455	454	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
456	285, 287, 288, 291, 455	fsumlt 14373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
457	284, 456	eqbrtrrd 4607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
458	127	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
459	158	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
460	313	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
461		ltmul2 10753	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
462	458, 459, 460, 461	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
463	457, 462	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
464	121, 129, 160, 233, 463	lttrd 10077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
465	156, 58	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
466	465	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
467	466	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
468	285, 467	fsumcl 14311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
469	468	addid1d 10115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
470		0red 9920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℝ)
471		fzfid 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin)
472	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
473		0red 9920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
474	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
475		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
476	475	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
477	476	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
478		1m1e0 10966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 1) = 0
479	122, 114, 122, 365	lesub1dd 10522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐿 − 1))
480	478, 479	syl5eqbrr 4619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐿 − 1))
481	480	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 1))
482		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
483	475	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
484	379	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
485	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
486		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
487	483, 484, 485, 486	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
488	482, 487	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
489	488	simpld 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ≤ 𝑖)
490	473, 474, 477, 481, 489	letrd 10073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
491		elfzle2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁)
492	491	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁)
493		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
494		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
495	483, 493, 485, 494	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
496	490, 492, 495	mpbir2and 959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
497	496, 57	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
498	472, 497	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
499	498	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
500	471, 499	fsumrecl 14312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
501	285, 466	fsumrecl 14312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
502		fzfid 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin)
503	182	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
504	503	mul01d 10114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) = 0)
505	496, 106	syldan 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))
506	313	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
507		lemul2 10755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
508	473, 497, 506, 507	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
509	505, 508	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
510	504, 509	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
511	502, 498, 510	fsumge0 14368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
512	511	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
513	470, 500, 501, 512	leadd2dd 10521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + 0) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
514	469, 513	eqbrtrrd 4607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
515	157	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ)
516	130, 182, 515	fsummulc2 14358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
517	516	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
518		stoweidlem26.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
519		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑗 ∈ ℤ)
520	519	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℤ)
521	520	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℝ)
522	318	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
523	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
524		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)))
525		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 0 ∈ ℤ)
526	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
527		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ (𝐿 − 2))))
528	520, 525, 526, 527	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ (𝐿 − 2))))
529	524, 528	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ (𝐿 − 2)))
530	529	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ≤ (𝐿 − 2))
531	122, 138, 114	ltsub2d 10516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1)))
532	355, 531	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))
533	532	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))
534	521, 522, 523, 530, 533	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 < (𝐿 − 1))
535	521, 523	ltnled 10063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 < (𝐿 − 1) ↔ ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗))
536	534, 535	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗)
537	536	intnanrd 954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))
538	379	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
539	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
540		elfz 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
541	520, 538, 539, 540	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
542	537, 541	mtbird 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
543	542	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
544	518, 543	ralrimi 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
545		disj 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
546	544, 545	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅)
547	546	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅)
548	150	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)
549	134, 378, 135	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
550	549	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
551		elfz 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)))
552	550, 551	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)))
553	258, 548, 552	mpbir2and 959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁))
554		fzsplit 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)))
555	553, 554	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)))
556	269, 275, 276	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 − 1))
557	556	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁) = ((𝐿 − 1)...𝑁))
558	557	uneq2d 3729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
559	558	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
560	555, 559	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
561		fzfid 12634	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) ∈ Fin)
562	182	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
563	57	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ)
564	562, 563	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
565	564	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
566	547, 560, 561, 565	fsumsplit 14318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
567	514, 517, 566	3brtr4d 4615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
568	120, 159, 59	3jca 1235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ))
569	568	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ))
570		ltletr 10008	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
571	569, 570	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))))
572	464, 567, 571	mp2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
573	111, 572	pm2.61dan 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
574		sumex 14266	. . 3 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ V
575	99	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) = (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
576	575	sumeq2sdv 14282	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
577		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
578	576, 577	fvmptg 6189	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ V) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
579	55, 574, 578	sylancl 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))
580	573, 579	breqtrrd 4611	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 Ⅎwnf 1699 ∈ wcel 1977 Ⅎwnfc 2738 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 {crab 2900 Vcvv 3173 ∖ cdif 3537 ∪ cun 3538 ∩ cin 3539 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 Fincfn 7841 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 4c4 10949 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ℝ⁺crp 11708 ...cfz 12197 #chash 12979 Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-oi 8298 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265

This theorem is referenced by: stoweidlem34 38927

W3C validator