Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz 13074
 Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfz (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11568 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 11573 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 1z 11284 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 11296 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
53, 1, 4sylancr 694 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6 fzen 12229 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1318 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
81zcnd 11359 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 9873 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
10 pncan3 10168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
118, 9, 10sylancl 693 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
122zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 1cnd 9935 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
1412, 13, 8addsub12d 10294 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵𝐴)))
1512, 8subcld 10271 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
16 addcom 10101 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
179, 15, 16sylancr 694 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 + (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1814, 17eqtrd 2644 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1911, 18oveq12d 6567 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵𝐴) + 1)))
207, 19breqtrd 4609 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)))
21 hasheni 12998 . . 3 ((𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)) → (#‘(𝐴...𝐵)) = (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...𝐵)) = (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
23 uznn0sub 11595 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
24 peano2nn0 11210 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
25 hashfz1 12996 . . 3 (((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
2623, 24, 253syl 18 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
2722, 26eqtrd 2644 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  fzsdom2  13075  hashfzo  13076  hashfzp1  13078  hashfz0  13079  0sgmppw  24723  logfaclbnd  24747  gausslemma2dlem5  24896  ballotlem2  29877  subfacp1lem5  30420  fzisoeu  38455  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919
 Copyright terms: Public domain W3C validator