Theorem negsubd 10277

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 10208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  mulsub  10352  divsubdir  10600  divsubdiv  10620  ofnegsub  10895  icoshftf1o  12166  fzosubel  12394  modsub12d  12589  expaddzlem  12765  binom2sub  12843  discr  12863  cjreb  13711  recj  13712  remullem  13716  imcj  13720  sqreulem  13947  subcn2  14173  lo1sub  14209  iseraltlem2  14261  iseraltlem3  14262  fsumshftm  14355  fsumsub  14362  incexclem  14407  incexc  14408  bpoly3  14628  efmival  14722  cosadd  14734  sinsub  14737  sincossq  14745  moddvds  14829  dvdsadd2b  14866  bitsres  15033  pythagtriplem4  15362  mulgdirlem  17395  mulgmodid  17404  mulgsubdir  17405  cnsubrg  19625  zringlpirlem3  19653  cphipval  22850  pjthlem1  23016  mbfsub  23235  mbfmulc2  23236  itg2monolem1  23323  itgcnlem  23362  iblsub  23394  itgsub  23398  itgmulc2  23406  dvmptsub  23536  dvexp3  23545  dvsincos  23548  dvlipcn  23561  ftc2  23611  aaliou3lem6  23907  logdiv2  24167  tanarg  24169  advlogexp  24201  cxpsub  24228  abscxpbnd  24294  relogbdiv  24317  isosctrlem2  24349  angpieqvdlem  24355  quad2  24366  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic  24373  mcubic  24374  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1lem  24382  quartlem1  24384  quart  24388  asinlem2  24396  cosasin  24431  atanlogsublem  24442  atantan  24450  atantayl2  24465  ftalem5  24603  basellem9  24615  lgseisenlem1  24900  2sqlem4  24946  rpvmasum2  25001  log2sumbnd  25033  chpdifbndlem1  25042  pntpbnd1  25075  axsegconlem9  25605  axeuclidlem  25642  smcnlem  26936  ipval2  26946  ipasslem2  27071  dipsubdir  27087  his2sub  27333  pjhthlem1  27634  fwddifnp1  31442  knoppndvlem2  31674  itg2gt0cn  32635  iblsubnc  32641  itgsubnc  32642  itgmulc2nc  32648  ftc1anclem8  32662  ftc2nc  32664  areacirclem1  32670  mzpsubmpt  36324  pellexlem6  36416  pell1234qrreccl  36436  pellfund14  36480  rmxyneg  36503  rmxm1  36517  rmym1  36518  congsub  36555  jm2.19lem1  36574  jm2.19lem4  36577  jm2.19  36578  jm2.26lem3  36586  sineq0ALT  38195  sub2times  38426  fzisoeu  38455  supsubc  38510  sublimc  38719  reclimc  38720  dvmptdiv  38807  itgsincmulx  38866  itgsbtaddcnst  38874  stoweidlem10  38903  stoweidlem13  38906  stoweidlem22  38915  stoweidlem23  38916  stoweidlem26  38919  stoweidlem42  38935  stoweidlem47  38940  stirlinglem5  38971  dirkertrigeqlem2  38992  fourierdlem26  39026  fourierdlem36  39036  fourierdlem40  39040  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem64  39063  fourierdlem78  39077  fourierdlem92  39091  fourierdlem97  39096  fourierdlem101  39100  fourierdlem107  39106  etransclem17  39144  etransclem46  39173  sigarperm  39698  dignn0flhalflem1  42207