MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9373
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9305 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  mulsub  9432  divsubdir  9666  divsubdiv  9686  ofnegsub  9954  icoshftf1o  10976  fzosubel  11132  modsub12d  11238  expaddzlem  11378  binom2sub  11453  discr  11471  cjreb  11883  recj  11884  remullem  11888  imcj  11892  sqreulem  12118  subcn2  12343  lo1sub  12379  iseraltlem2  12431  iseraltlem3  12432  fsumshftm  12519  fsumsub  12526  incexclem  12571  incexc  12572  efmival  12709  cosadd  12721  sinsub  12724  sincossq  12732  moddvds  12814  dvdsadd2b  12847  bitsres  12940  pythagtriplem4  13148  mulgdirlem  14869  mulgsubdir  14876  cnsubrg  16714  zlpirlem3  16725  pjthlem1  19291  mbfsub  19507  mbfmulc2  19508  itg2monolem1  19595  itgcnlem  19634  iblsub  19666  itgsub  19670  itgmulc2  19678  dvmptsub  19806  dvexp3  19815  dvsincos  19818  dvlipcn  19831  ftc2  19881  aaliou3lem6  20218  logdiv2  20465  tanarg  20467  advlogexp  20499  cxpsub  20526  abscxpbnd  20590  isosctrlem2  20616  angpieqvdlem  20622  quad2  20632  dcubic1lem  20636  dcubic2  20637  dcubic  20639  mcubic  20640  dquartlem2  20645  dquart  20646  quart1lem  20648  quartlem1  20650  quart  20654  asinlem2  20662  cosasin  20697  atanlogsublem  20708  atantan  20716  atantayl2  20731  ftalem5  20812  basellem9  20824  lgseisenlem1  21086  2sqlem4  21104  rpvmasum2  21159  log2sumbnd  21191  chpdifbndlem1  21200  pntpbnd1  21233  gxmodid  21820  smcnlem  22146  ipval2  22156  ipasslem2  22286  dipsubdir  22302  his2sub  22547  pjhthlem1  22846  axsegconlem9  25768  axeuclidlem  25805  bpoly3  26008  itg2gt0cn  26159  iblsubnc  26165  itgsubnc  26166  itgmulc2nc  26172  areacirclem2  26181  mzpsubmpt  26690  pellexlem6  26787  pell1234qrreccl  26807  pellfund14  26851  rmxyneg  26873  rmxm1  26887  rmym1  26888  congsub  26925  jm2.19lem1  26950  jm2.19lem4  26953  jm2.19  26954  jm2.26lem3  26962  stoweidlem10  27626  stoweidlem13  27629  stoweidlem22  27638  stoweidlem23  27639  stoweidlem26  27642  stoweidlem42  27658  stoweidlem47  27663  stirlinglem5  27694  sigarperm  27717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator