MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Unicode version

Theorem negsubd 9942
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9872 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493    + caddc 9498    - cmin 9810   -ucneg 9811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  mulsub  10006  divsubdir  10247  divsubdiv  10267  ofnegsub  10541  icoshftf1o  11654  fzosubel  11857  modsub12d  12026  expaddzlem  12191  binom2sub  12267  discr  12285  cjreb  12938  recj  12939  remullem  12943  imcj  12947  sqreulem  13174  subcn2  13399  lo1sub  13435  iseraltlem2  13487  iseraltlem3  13488  fsumshftm  13578  fsumsub  13585  incexclem  13630  incexc  13631  efmival  13870  cosadd  13882  sinsub  13885  sincossq  13893  moddvds  13975  dvdsadd2b  14010  bitsres  14105  pythagtriplem4  14325  mulgdirlem  16145  mulgsubdir  16152  cnsubrg  18457  zringlpirlem3  18489  zlpirlem3  18494  pjthlem1  21830  mbfsub  22047  mbfmulc2  22048  itg2monolem1  22135  itgcnlem  22174  iblsub  22206  itgsub  22210  itgmulc2  22218  dvmptsub  22348  dvexp3  22357  dvsincos  22360  dvlipcn  22373  ftc2  22423  aaliou3lem6  22722  logdiv2  22980  tanarg  22982  advlogexp  23014  cxpsub  23041  abscxpbnd  23105  isosctrlem2  23131  angpieqvdlem  23137  quad2  23148  dcubic1lem  23152  dcubic2  23153  dcubic  23155  mcubic  23156  dquartlem2  23161  dquart  23162  quart1lem  23164  quartlem1  23166  quart  23170  asinlem2  23178  cosasin  23213  atanlogsublem  23224  atantan  23232  atantayl2  23247  ftalem5  23328  basellem9  23340  lgseisenlem1  23602  2sqlem4  23620  rpvmasum2  23675  log2sumbnd  23707  chpdifbndlem1  23716  pntpbnd1  23749  axsegconlem9  24206  axeuclidlem  24243  gxmodid  25259  smcnlem  25585  ipval2  25595  ipasslem2  25725  dipsubdir  25741  his2sub  25987  pjhthlem1  26287  bpoly3  29796  itg2gt0cn  30046  iblsubnc  30052  itgsubnc  30053  itgmulc2nc  30059  ftc1anclem8  30073  ftc2nc  30075  areacirclem1  30083  mzpsubmpt  30651  pellexlem6  30746  pell1234qrreccl  30766  pellfund14  30810  rmxyneg  30832  rmxm1  30846  rmym1  30847  congsub  30884  jm2.19lem1  30907  jm2.19lem4  30910  jm2.19  30911  jm2.26lem3  30919  sub2times  31409  fzisoeu  31454  sublimc  31612  reclimc  31613  dvmptdiv  31668  itgsincmulx  31727  itgsbtaddcnst  31735  stoweidlem10  31746  stoweidlem13  31749  stoweidlem22  31758  stoweidlem23  31759  stoweidlem26  31762  stoweidlem42  31778  stoweidlem47  31783  stirlinglem5  31814  dirkertrigeqlem2  31835  fourierdlem26  31869  fourierdlem36  31879  fourierdlem40  31883  fourierdlem41  31884  fourierdlem48  31891  fourierdlem49  31892  fourierdlem64  31907  fourierdlem78  31921  fourierdlem92  31935  fourierdlem97  31940  fourierdlem101  31944  fourierdlem107  31950  etransclem17  31988  etransclem46  32017  sigarperm  32031  sineq0ALT  33605
  Copyright terms: Public domain W3C validator