MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Unicode version

Theorem negsubd 9936
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9867 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490    + caddc 9495    - cmin 9805   -ucneg 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  mulsub  9999  divsubdir  10240  divsubdiv  10260  ofnegsub  10534  icoshftf1o  11643  fzosubel  11843  modsub12d  12012  expaddzlem  12177  binom2sub  12253  discr  12271  cjreb  12919  recj  12920  remullem  12924  imcj  12928  sqreulem  13155  subcn2  13380  lo1sub  13416  iseraltlem2  13468  iseraltlem3  13469  fsumshftm  13559  fsumsub  13566  incexclem  13611  incexc  13612  efmival  13749  cosadd  13761  sinsub  13764  sincossq  13772  moddvds  13854  dvdsadd2b  13887  bitsres  13982  pythagtriplem4  14202  mulgdirlem  15976  mulgsubdir  15983  cnsubrg  18274  zringlpirlem3  18306  zlpirlem3  18311  pjthlem1  21615  mbfsub  21832  mbfmulc2  21833  itg2monolem1  21920  itgcnlem  21959  iblsub  21991  itgsub  21995  itgmulc2  22003  dvmptsub  22133  dvexp3  22142  dvsincos  22145  dvlipcn  22158  ftc2  22208  aaliou3lem6  22506  logdiv2  22758  tanarg  22760  advlogexp  22792  cxpsub  22819  abscxpbnd  22883  isosctrlem2  22909  angpieqvdlem  22915  quad2  22926  dcubic1lem  22930  dcubic2  22931  dcubic  22933  mcubic  22934  dquartlem2  22939  dquart  22940  quart1lem  22942  quartlem1  22944  quart  22948  asinlem2  22956  cosasin  22991  atanlogsublem  23002  atantan  23010  atantayl2  23025  ftalem5  23106  basellem9  23118  lgseisenlem1  23380  2sqlem4  23398  rpvmasum2  23453  log2sumbnd  23485  chpdifbndlem1  23494  pntpbnd1  23527  axsegconlem9  23932  axeuclidlem  23969  gxmodid  24985  smcnlem  25311  ipval2  25321  ipasslem2  25451  dipsubdir  25467  his2sub  25713  pjhthlem1  26013  bpoly3  29425  itg2gt0cn  29675  iblsubnc  29681  itgsubnc  29682  itgmulc2nc  29688  ftc1anclem8  29702  ftc2nc  29704  areacirclem1  29712  mzpsubmpt  30307  pellexlem6  30402  pell1234qrreccl  30422  pellfund14  30466  rmxyneg  30488  rmxm1  30502  rmym1  30503  congsub  30540  jm2.19lem1  30563  jm2.19lem4  30566  jm2.19  30567  jm2.26lem3  30575  sub2times  31060  fzisoeu  31105  sublimc  31222  reclimc  31223  dvmptdiv  31275  itgsincmulx  31320  stoweidlem10  31338  stoweidlem13  31341  stoweidlem22  31350  stoweidlem23  31351  stoweidlem26  31354  stoweidlem42  31370  stoweidlem47  31375  stirlinglem5  31406  dirkertrigeqlem2  31427  fourierdlem26  31461  fourierdlem36  31471  fourierdlem40  31475  fourierdlem41  31476  fourierdlem48  31483  fourierdlem49  31484  fourierdlem64  31499  fourierdlem78  31513  fourierdlem92  31527  fourierdlem97  31532  fourierdlem101  31536  fourierdlem107  31542  sigarperm  31572  sineq0ALT  32835
  Copyright terms: Public domain W3C validator