MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Unicode version

Theorem negsubd 9721
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9653 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 656 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276    + caddc 9281    - cmin 9591   -ucneg 9592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593  df-neg 9594
This theorem is referenced by:  mulsub  9783  divsubdir  10023  divsubdiv  10043  ofnegsub  10316  icoshftf1o  11404  fzosubel  11595  modsub12d  11752  expaddzlem  11903  binom2sub  11979  discr  11997  cjreb  12608  recj  12609  remullem  12613  imcj  12617  sqreulem  12843  subcn2  13068  lo1sub  13104  iseraltlem2  13156  iseraltlem3  13157  fsumshftm  13244  fsumsub  13251  incexclem  13295  incexc  13296  efmival  13433  cosadd  13445  sinsub  13448  sincossq  13456  moddvds  13538  dvdsadd2b  13571  bitsres  13665  pythagtriplem4  13882  mulgdirlem  15644  mulgsubdir  15651  cnsubrg  17773  zringlpirlem3  17805  zlpirlem3  17810  pjthlem1  20824  mbfsub  21040  mbfmulc2  21041  itg2monolem1  21128  itgcnlem  21167  iblsub  21199  itgsub  21203  itgmulc2  21211  dvmptsub  21341  dvexp3  21350  dvsincos  21353  dvlipcn  21366  ftc2  21416  aaliou3lem6  21757  logdiv2  22009  tanarg  22011  advlogexp  22043  cxpsub  22070  abscxpbnd  22134  isosctrlem2  22160  angpieqvdlem  22166  quad2  22177  dcubic1lem  22181  dcubic2  22182  dcubic  22184  mcubic  22185  dquartlem2  22190  dquart  22191  quart1lem  22193  quartlem1  22195  quart  22199  asinlem2  22207  cosasin  22242  atanlogsublem  22253  atantan  22261  atantayl2  22276  ftalem5  22357  basellem9  22369  lgseisenlem1  22631  2sqlem4  22649  rpvmasum2  22704  log2sumbnd  22736  chpdifbndlem1  22745  pntpbnd1  22778  axsegconlem9  23090  axeuclidlem  23127  gxmodid  23685  smcnlem  24011  ipval2  24021  ipasslem2  24151  dipsubdir  24167  his2sub  24413  pjhthlem1  24713  bpoly3  28114  itg2gt0cn  28356  iblsubnc  28362  itgsubnc  28363  itgmulc2nc  28369  ftc1anclem8  28383  ftc2nc  28385  areacirclem1  28393  mzpsubmpt  28988  pellexlem6  29084  pell1234qrreccl  29104  pellfund14  29148  rmxyneg  29170  rmxm1  29184  rmym1  29185  congsub  29222  jm2.19lem1  29247  jm2.19lem4  29250  jm2.19  29251  jm2.26lem3  29259  stoweidlem10  29714  stoweidlem13  29717  stoweidlem22  29726  stoweidlem23  29727  stoweidlem26  29730  stoweidlem42  29746  stoweidlem47  29751  stirlinglem5  29782  sigarperm  29805  sineq0ALT  31490
  Copyright terms: Public domain W3C validator