MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Unicode version

Theorem negsubd 9725
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9657 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280    + caddc 9285    - cmin 9595   -ucneg 9596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423  df-sub 9597  df-neg 9598
This theorem is referenced by:  mulsub  9787  divsubdir  10027  divsubdiv  10047  ofnegsub  10320  icoshftf1o  11408  fzosubel  11599  modsub12d  11756  expaddzlem  11907  binom2sub  11983  discr  12001  cjreb  12612  recj  12613  remullem  12617  imcj  12621  sqreulem  12847  subcn2  13072  lo1sub  13108  iseraltlem2  13160  iseraltlem3  13161  fsumshftm  13248  fsumsub  13255  incexclem  13299  incexc  13300  efmival  13437  cosadd  13449  sinsub  13452  sincossq  13460  moddvds  13542  dvdsadd2b  13575  bitsres  13669  pythagtriplem4  13886  mulgdirlem  15651  mulgsubdir  15658  cnsubrg  17873  zringlpirlem3  17905  zlpirlem3  17910  pjthlem1  20924  mbfsub  21140  mbfmulc2  21141  itg2monolem1  21228  itgcnlem  21267  iblsub  21299  itgsub  21303  itgmulc2  21311  dvmptsub  21441  dvexp3  21450  dvsincos  21453  dvlipcn  21466  ftc2  21516  aaliou3lem6  21814  logdiv2  22066  tanarg  22068  advlogexp  22100  cxpsub  22127  abscxpbnd  22191  isosctrlem2  22217  angpieqvdlem  22223  quad2  22234  dcubic1lem  22238  dcubic2  22239  dcubic  22241  mcubic  22242  dquartlem2  22247  dquart  22248  quart1lem  22250  quartlem1  22252  quart  22256  asinlem2  22264  cosasin  22299  atanlogsublem  22310  atantan  22318  atantayl2  22333  ftalem5  22414  basellem9  22426  lgseisenlem1  22688  2sqlem4  22706  rpvmasum2  22761  log2sumbnd  22793  chpdifbndlem1  22802  pntpbnd1  22835  axsegconlem9  23171  axeuclidlem  23208  gxmodid  23766  smcnlem  24092  ipval2  24102  ipasslem2  24232  dipsubdir  24248  his2sub  24494  pjhthlem1  24794  bpoly3  28201  itg2gt0cn  28447  iblsubnc  28453  itgsubnc  28454  itgmulc2nc  28460  ftc1anclem8  28474  ftc2nc  28476  areacirclem1  28484  mzpsubmpt  29079  pellexlem6  29175  pell1234qrreccl  29195  pellfund14  29239  rmxyneg  29261  rmxm1  29275  rmym1  29276  congsub  29313  jm2.19lem1  29338  jm2.19lem4  29341  jm2.19  29342  jm2.26lem3  29350  stoweidlem10  29805  stoweidlem13  29808  stoweidlem22  29817  stoweidlem23  29818  stoweidlem26  29821  stoweidlem42  29837  stoweidlem47  29842  stirlinglem5  29873  sigarperm  29896  sineq0ALT  31673
  Copyright terms: Public domain W3C validator