Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubrg 19625
 Description: There are no subrings of the complex numbers strictly between ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnsubrg ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Proof of Theorem cnsubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3896 . . . 4 (𝑅 ⊆ ℝ ↔ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅)
2 simpr 476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3 simplr 788 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ 𝑅)
42, 3eqssd 3585 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 = ℝ)
54orcd 406 . . . 4 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
61, 5sylan2br 492 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7 n0 3890 . . . 4 ((𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ))
8 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9 cnfldbas 19571 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
109subrgss 18604 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ⊆ ℂ)
118, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ⊆ ℂ)
12 replim 13704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
1312ad2antll 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
14 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
16 recl 13698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
1716ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
1815, 17sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅)
19 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ ℂ)
21 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → 𝑥𝑅)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥𝑅)
2311, 22sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
24 imcl 13699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
2625recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
27 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
29 reim0b 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
3029necon3bbid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
3228, 31mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
3320, 26, 32divcan4d 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = i)
34 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3519, 26, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3635, 26, 32divrecd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
3733, 36eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
3823recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
3938recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
4023, 39negsubd 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (𝑥 − (ℜ‘𝑥)))
41 replim 13704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
4223, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
4342oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 − (ℜ‘𝑥)) = (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)))
4439, 35pncan2d 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
4540, 43, 443eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
46 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
4738renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
4846, 47sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅)
49 cnfldadd 19572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (+g‘ℂfld)
5049subrgacl 18614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥𝑅 ∧ -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
518, 22, 48, 50syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
5245, 51eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
5325, 32rereccld 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
5446, 53sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
55 cnfldmul 19573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
5655subrgmcl 18615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅 ∧ (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
578, 52, 54, 56syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
5837, 57eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ 𝑅)
5958adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ 𝑅)
60 imcl 13699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
6160ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
6215, 61sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅)
6355subrgmcl 18615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝑅 ∧ (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
6414, 59, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
6549subrgacl 18614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
6614, 18, 64, 65syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
6713, 66eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦𝑅)
6867expr 641 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦𝑅))
6968ssrdv 3574 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℂ ⊆ 𝑅)
7011, 69eqssd 3585 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 = ℂ)
7170olcd 407 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7271ex 449 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7372exlimdv 1848 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7473imp 444 . . . 4 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
757, 74sylan2b 491 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
766, 75pm2.61dane 2869 . 2 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
77 elprg 4144 . . 3 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7877adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7976, 78mpbird 246 1 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℜcre 13685  ℑcim 13686  SubRingcsubrg 18599  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  cncdrg  22963
 Copyright terms: Public domain W3C validator