Theorem nncand 10276

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 10189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  moddiffl  12543  flmod  12546  ccatswrd  13308  o1dif  14208  fprodser  14518  fprodrev  14546  fallfacval3  14582  efaddlem  14662  4sqlem5  15484  mul4sqlem  15495  4sqlem14  15500  coe1tmmul2  19467  znunit  19731  blssps  22039  blss  22040  metdstri  22462  ivthlem3  23029  ioorcl2  23146  vitalilem2  23184  dvexp3  23545  dvcvx  23587  iblulm  23965  chordthmlem4  24362  heron  24365  cubic  24376  dquartlem1  24378  birthdaylem2  24479  lgamgulmlem2  24556  lgamcvg2  24581  ftalem2  24600  basellem3  24609  gausslemma2dlem1a  24890  lgsquadlem1  24905  pntrlog2bndlem4  25069  axsegconlem1  25597  lt2addrd  28903  ballotlemsf1o  29902  bcprod  30877  lzenom  36351  rmspecfund  36492  fzmaxdif  36566  jm2.18  36573  jm2.19  36578  jm2.20nn  36582  supxrgere  38490  lptre2pt  38707  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  fourierdlem4  39004  fourierdlem26  39026  fourierdlem42  39042  fourierdlem48  39047  fourierdlem65  39064  fouriersw  39124  sge0gtfsumgt  39336  meaiininclem  39376  fmtnorec2lem  39992  goldbachthlem2  39996  pw2m1lepw2m1  42104