Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem1 25597
 Description: Lemma for axsegcon 25607. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁,𝑖,𝑥   𝑡,𝐴,𝑖,𝑥   𝑡,𝐵,𝑖,𝑥   𝑡,𝐶,𝑖,𝑥   𝑡,𝐷,𝑖,𝑥

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 25581 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
213ad2antl1 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3 fveere 25581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
433ad2antl2 1217 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
5 fveere 25581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
653ad2antl3 1218 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 10337 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10337 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
98ralrimiva 2949 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
10 eleenn 25576 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 mptelee 25575 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
13123ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
149, 13mpbird 246 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 25582 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
16153ad2antl1 1216 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
17 fveecn 25582 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
18173ad2antl2 1217 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
19 fveecn 25582 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
20193ad2antl3 1218 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
21 1m0e1 11008 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2221oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (1 · (𝐵𝑖))
23 mulid2 9917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
24233ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
2522, 24syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
26 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
27 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
2826, 27sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
29283impb 1252 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
3029mul02d 10113 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = 0)
3125, 30oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = ((𝐵𝑖) + 0))
32 addid1 10095 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
33323ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
3431, 33eqtr2d 2645 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3516, 18, 20, 34syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3635ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3718, 20subcld 10271 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
3816, 37nncand 10276 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
3938oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
4039sumeq2dv 14281 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
41 0elunit 12161 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
42 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖))
43 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
44 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
45 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑖))
4644, 45oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
4743, 46oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
48 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))
49 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5142, 50sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5251oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5352oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
5453eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5554ralbidva 2968 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5651oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5756oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5857sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5958eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6055, 59anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
61 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
6261oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 0) · (𝐵𝑖)))
63 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
6462, 63oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
6564eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6665ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6766anbi1d 737 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
6860, 67rspc2ev 3295 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 0 ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6941, 68mp3an2 1404 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7014, 36, 40, 69syl12anc 1316 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
71703expb 1258 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7271adantll 746 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
73 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖))
7473oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
7574oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))))
7675eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7776ralbidv 2969 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7877anbi1d 737 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
79782rexbidv 3039 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8072, 79syl5ibr 235 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8180imp 444 1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  𝔼cee 25568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-sum 14265  df-ee 25571 This theorem is referenced by:  axsegcon  25607
 Copyright terms: Public domain W3C validator