MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncand Structured version   Unicode version

Theorem nncand 9971
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
nncand  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )

Proof of Theorem nncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 nncan 9883 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519    - cmin 9840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842
This theorem is referenced by:  moddiffl  12044  flmod  12047  ccatswrd  12735  o1dif  13599  fprodser  13906  fprodrev  13931  fallfacval3  13955  efaddlem  14035  4sqlem5  14667  mul4sqlem  14678  4sqlem14  14683  coe1tmmul2  18635  znunit  18898  blssps  21217  blss  21218  metdstri  21645  ivthlem3  22155  ioorcl2  22271  vitalilem2  22308  dvexp3  22669  dvcvx  22711  iblulm  23092  chordthmlem4  23489  heron  23492  cubic  23503  dquartlem1  23505  birthdaylem2  23606  lgamgulmlem2  23683  lgamcvg2  23708  ftalem2  23726  basellem3  23735  lgsquadlem1  24008  pntrlog2bndlem4  24144  axsegconlem1  24624  lt2addrd  27996  ballotlemsf1o  28944  bcprod  29934  lzenom  35044  rmspecfund  35186  fzmaxdif  35260  jm2.18  35272  jm2.19  35277  jm2.20nn  35281  lptre2pt  36995  ioodvbdlimc2lem  37080  dvnprodlem1  37092  dvnprodlem2  37093  fourierdlem4  37242  fourierdlem26  37264  fourierdlem42  37280  fourierdlem48  37286  fourierdlem65  37303  fouriersw  37363  pw2m1lepw2m1  38619
  Copyright terms: Public domain W3C validator