MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncand Structured version   Unicode version

Theorem nncand 9993
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
nncand  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )

Proof of Theorem nncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 nncan 9905 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 666 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1438    e. wcel 1869  (class class class)co 6303   CCcc 9539    - cmin 9862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-ltxr 9682  df-sub 9864
This theorem is referenced by:  moddiffl  12109  flmod  12112  ccatswrd  12808  o1dif  13686  fprodser  13996  fprodrev  14024  fallfacval3  14058  efaddlem  14140  4sqlem5  14879  mul4sqlem  14890  4sqlem14OLD  14895  4sqlem14  14901  coe1tmmul2  18862  znunit  19126  blssps  21431  blss  21432  metdstri  21860  metdstriOLD  21875  ivthlem3  22396  ioorcl2  22516  vitalilem2  22559  dvexp3  22922  dvcvx  22964  iblulm  23354  chordthmlem4  23753  heron  23756  cubic  23767  dquartlem1  23769  birthdaylem2  23870  lgamgulmlem2  23947  lgamcvg2  23972  ftalem2  23990  basellem3  24001  lgsquadlem1  24274  pntrlog2bndlem4  24410  axsegconlem1  24939  lt2addrd  28326  ballotlemsf1o  29348  ballotlemsf1oOLD  29386  bcprod  30375  lzenom  35575  rmspecfund  35721  fzmaxdif  35795  jm2.18  35807  jm2.19  35812  jm2.20nn  35816  supxrgere  37442  lptre2pt  37584  ioodvbdlimc2lem  37672  ioodvbdlimc2lemOLD  37673  dvnprodlem1  37685  dvnprodlem2  37686  fourierdlem4  37837  fourierdlem26  37859  fourierdlem42  37876  fourierdlem42OLD  37877  fourierdlem48  37882  fourierdlem65  37899  fouriersw  37959  pw2m1lepw2m1  39662
  Copyright terms: Public domain W3C validator