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Theorem metdstri 22462
 Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(𝑎, 𝑆) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdstri (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
2 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3 rexsub 11938 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
54oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
6 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐵𝑋)
10 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐴𝑋)
121, 2resubcld 10337 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
132leidd 10473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14 xmetsym 21962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
156, 10, 8, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
1716eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
181recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
192recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2018, 19nncand 10276 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐴) − ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) = (𝐴𝐷𝐵))
2113, 17, 203brtr4d 4615 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹𝐴) − ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
22 blss2 22019 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) ∧ (((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹𝐴) − ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1333 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
245, 23eqsstrd 3602 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
2524expr 641 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
266adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
278adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐵𝑋)
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2928metdsf 22459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3130, 10ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
32 elxrge0 12152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
3332simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
36 xmetcl 21946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
376, 10, 8, 36syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3938xnegcld 12002 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
4035, 39xaddcld 12003 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
4140adantrr 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
42 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
44 pnfge 11840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
46 ssbl 22038 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) ∧ (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
4726, 27, 41, 43, 45, 46syl221anc 1329 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
48 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐹𝐴) = +∞)
4948oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
5010adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐴𝑋)
51 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
52 xblpnf 22011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
5326, 50, 52syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
5427, 51, 53mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
55 blpnfctr 22051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
5626, 50, 54, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
5749, 56eqtr2d 2645 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5847, 57sseqtrd 3604 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5958expr 641 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) = +∞ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
6032simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
62 ge0nemnf 11878 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ≠ -∞)
6334, 61, 62syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≠ -∞)
6434, 63jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ≠ -∞))
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ≠ -∞))
66 xrnemnf 11827 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ≠ -∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹𝐴) = +∞))
6765, 66sylib 207 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹𝐴) = +∞))
6825, 59, 67mpjaod 395 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
69 pnfnlt 11838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝐹𝐴))
7034, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ¬ +∞ < (𝐹𝐴))
7170adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ¬ +∞ < (𝐹𝐴))
7237xnegcld 12002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
7334, 72xaddcld 12003 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
74 xbln0 22029 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
756, 8, 73, 74syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
76 xposdif 11964 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
7737, 34, 76syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
7875, 77bitr4d 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴)))
79 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐷𝐵) = +∞ → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ +∞ < (𝐹𝐴)))
8078, 79sylan9bb 732 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ +∞ < (𝐹𝐴)))
8180necon1bbid 2821 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (¬ +∞ < (𝐹𝐴) ↔ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅))
8271, 81mpbid 221 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅)
83 0ss 3924 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))
8482, 83syl6eqss 3618 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
85 xmetge0 21959 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
866, 10, 8, 85syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
87 ge0nemnf 11878 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
8837, 86, 87syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
8937, 88jca 553 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞))
90 xrnemnf 11827 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
9189, 90sylib 207 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
9268, 84, 91mpjaodan 823 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
93 sslin 3801 . . . . . 6 ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
9492, 93syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
95 xrleid 11859 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
9634, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
97 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑆𝑋)
9828metdsge 22460 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
996, 97, 10, 34, 98syl31anc 1321 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
10096, 99mpbid 221 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
101 sseq0 3927 . . . . 5 (((𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
10294, 100, 101syl2anc 691 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
10328metdsge 22460 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
1046, 97, 8, 73, 103syl31anc 1321 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
105102, 104mpbird 246 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
10630, 8ffvelrnd 6268 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
107 elxrge0 12152 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
108107simplbi 475 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
109106, 108syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
110107simprbi 479 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
111106, 110syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
112 xlesubadd 11965 . . . 4 ((((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹𝐴) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
11334, 37, 109, 61, 88, 111, 112syl33anc 1333 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
114105, 113mpbid 221 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
115 xaddcom 11945 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
116109, 37, 115syl2anc 691 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
117114, 116breqtrd 4609 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562 This theorem is referenced by:  metdsle  22463  metdscnlem  22466  metnrmlem1  22470
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