Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrgere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrgere 38490
 Description: If a real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrgere.xph 𝑥𝜑
supxrgere.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrgere.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supxrgere.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦)
Assertion
Ref Expression
supxrgere (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrgere
StepHypRef Expression
1 supxrgere.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 rexr 9964 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 9971 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
5 ltpnf 11830 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
62, 4, 5xrltled 38427 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ +∞)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
9 id 22 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2616 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1110adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
128, 11breqtrd 4609 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13 simpl 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
14 1rp 11712 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
15 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑥1
16 supxrgere.xph . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
17 nfv 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑥1 ∈ ℝ+
1816, 17nfan 1816 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)
19 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦
2018, 19nfim 1813 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
21 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
2221anbi2d 736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
23 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 1))
2423breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2524rexbidv 3034 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2622, 25imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
27 supxrgere.y . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦)
2815, 20, 26, 27vtoclgf 3237 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2914, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
3014, 29mpan2 703 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
32 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
34 supxrgere.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3534sselda 3568 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
36353adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 supxrcl 12017 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
39383ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
4241rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
4536adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
47 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) < 𝑦)
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
4935adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
51 xrlenlt 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
5249, 50, 51syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
5348, 52mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ≤ -∞)
54533adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ≤ -∞)
5544, 45, 46, 47, 54xrltletrd 11868 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) < -∞)
56 nltmnf 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ* → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
59583ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
6055, 59condan 831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦)
6134adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
63 supxrub 12026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6461, 62, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
65643adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6633, 36, 39, 60, 65xrltletrd 11868 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
67663exp 1256 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6867adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑦𝐴 → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6968rexlimdv 3012 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
7031, 69mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
71 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
72 nltpnft 11871 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7338, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7473adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7571, 74mtbid 313 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7675notnotrd 127 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7770, 76jca 553 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7838adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
79 xrrebnd 11873 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8078, 79syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8177, 80mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
82 simpl 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
83 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
8482simprd 478 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
851ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ)
8684, 85ltnled 10063 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8783, 86mpbird 246 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
88 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝜑)
891adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
90 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9189, 90resubcld 10337 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
93 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9490adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9588, 1syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9694, 95posdifd 10493 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
9793, 96mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
9892, 97elrpd 11745 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
99 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V
100 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))
101 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+
10216, 101nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
103 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦
104102, 103nfim 1813 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
105 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+))
106105anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)))
107 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
108107breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
109108rexbidv 3034 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
110106, 109imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)))
111100, 104, 110, 27vtoclgf 3237 . . . . . . . 8 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
11299, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
11388, 98, 112syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
1141recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
115114ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
11690recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
117116ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
118115, 117nncand 10276 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
119118eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
120 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
121119, 120eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
122121ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ((𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
123122adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
124123reximdva 3000 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
125113, 124mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
12682, 87, 125syl2anc 691 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
12761, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12835, 127xrlenltd 9983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
12964, 128mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
130129ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
131 ralnex 2975 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
132130, 131sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
133132ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
134126, 133condan 831 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13513, 81, 134syl2anc 691 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13612, 135pm2.61dan 828 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ+crp 11708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-rp 11709 This theorem is referenced by:  suplesup  38496
 Copyright terms: Public domain W3C validator