Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nltpnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltpnft 11871
 Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
nltpnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))

Proof of Theorem nltpnft
StepHypRef Expression
1 pnfxr 9971 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 11829 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ +∞ < +∞
4 breq1 4586 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
53, 4mtbiri 316 . 2 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
6 pnfge 11840 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
7 xrleloe 11853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞)))
81, 7mpan2 703 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞)))
96, 8mpbid 221 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞))
109ord 391 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 < +∞ → 𝐴 = +∞))
115, 10impbid2 215 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959 This theorem is referenced by:  xrrebnd  11873  xlt2add  11962  supxrbnd1  12023  supxrbnd2  12024  supxrgtmnf  12031  supxrre2  12033  ioopnfsup  12525  icopnfsup  12526  xrsdsreclblem  19611  ovoliun  23080  ovolicopnf  23099  voliunlem3  23127  volsup  23131  itg2seq  23315  nmoreltpnf  27008  nmopreltpnf  28112  xgepnf  28904  ismblfin  32620  supxrgere  38490  supxrgelem  38494  supxrge  38495  suplesup  38496  nepnfltpnf  38499  sge0repnf  39279  sge0rpcpnf  39314  sge0rernmpt  39315
 Copyright terms: Public domain W3C validator