Theorem nltpnft 11376

Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
nltpnft	|- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Proof of Theorem nltpnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11330	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		xrltnr 11339	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> -. +oo < +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- -. +oo < +oo
4		breq1 4440	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A < +oo <-> +oo < +oo ) )
5	3, 4	mtbiri 303	. 2 |- ( A = +oo -> -. A < +oo )
6		pnfge 11348	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7		xrleloe 11359	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
8	1, 7	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
9	6, 8	mpbid 210	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < +oo \/ A = +oo ) )
10	9	ord 377	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -. A < +oo -> A = +oo ) )
11	5, 10	impbid2 204	1 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   = wceq 1383   e. wcel 1804   class class class wbr 4437   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637

This theorem is referenced by:  xrrebnd  11378  xlt2add  11461  supxrbnd1  11522  supxrbnd2  11523  supxrgtmnf  11530  supxrre2  11532  ioopnfsup  11970  icopnfsup  11971  xrsdsreclblem  18338  ovoliun  21789  ovolicopnf  21808  voliunlem3  21835  volsup  21839  itg2seq  22022  nmoreltpnf  25556  nmopreltpnf  26660  xgepnf  27442  ismblfin  30030