Theorem nltpnft 11461

Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
nltpnft	|- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Proof of Theorem nltpnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11412	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		xrltnr 11421	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> -. +oo < +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- -. +oo < +oo
4		breq1 4405	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A < +oo <-> +oo < +oo ) )
5	3, 4	mtbiri 305	. 2 |- ( A = +oo -> -. A < +oo )
6		pnfge 11432	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7		xrleloe 11443	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
8	1, 7	mpan2 677	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
9	6, 8	mpbid 214	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < +oo \/ A = +oo ) )
10	9	ord 379	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -. A < +oo -> A = +oo ) )
11	5, 10	impbid2 208	1 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   = wceq 1444   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681

This theorem is referenced by:  xrrebnd  11463  xlt2add  11546  supxrbnd1  11607  supxrbnd2  11608  supxrgtmnf  11615  supxrre2  11617  ioopnfsup  12091  icopnfsup  12092  xrsdsreclblem  19014  ovoliun  22458  ovolicopnf  22478  voliunlem3  22505  volsup  22509  itg2seq  22700  nmoreltpnf  26410  nmopreltpnf  27522  xgepnf  28327  ismblfin  31981  supxrgere  37556  supxrgelem  37560  supxrge  37561  suplesup  37562  nepnfltpnf  37565  sge0repnf  38228  sge0rpcpnf  38263  sge0rernmpt  38264