Theorem nltpnft 11484

Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
nltpnft	|- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Proof of Theorem nltpnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11435	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		xrltnr 11444	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> -. +oo < +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- -. +oo < +oo
4		breq1 4398	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A < +oo <-> +oo < +oo ) )
5	3, 4	mtbiri 310	. 2 |- ( A = +oo -> -. A < +oo )
6		pnfge 11455	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7		xrleloe 11466	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
8	1, 7	mpan2 685	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
9	6, 8	mpbid 215	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < +oo \/ A = +oo ) )
10	9	ord 384	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -. A < +oo -> A = +oo ) )
11	5, 10	impbid2 209	1 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   = wceq 1452   e. wcel 1904   class class class wbr 4395   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699

This theorem is referenced by:  xrrebnd  11486  xlt2add  11571  supxrbnd1  11632  supxrbnd2  11633  supxrgtmnf  11640  supxrre2  11642  ioopnfsup  12124  icopnfsup  12125  xrsdsreclblem  19091  ovoliun  22536  ovolicopnf  22556  voliunlem3  22584  volsup  22588  itg2seq  22779  nmoreltpnf  26491  nmopreltpnf  27603  xgepnf  28402  ismblfin  32045  supxrgere  37643  supxrgelem  37647  supxrge  37648  suplesup  37649  nepnfltpnf  37652  sge0repnf  38342  sge0rpcpnf  38377  sge0rernmpt  38378