Theorem nltpnft 11356

Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
nltpnft	|- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Proof of Theorem nltpnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11310	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		xrltnr 11319	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> -. +oo < +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- -. +oo < +oo
4		breq1 4443	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A < +oo <-> +oo < +oo ) )
5	3, 4	mtbiri 303	. 2 |- ( A = +oo -> -. A < +oo )
6		pnfge 11328	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7		xrleloe 11339	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
8	1, 7	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
9	6, 8	mpbid 210	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < +oo \/ A = +oo ) )
10	9	ord 377	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -. A < +oo -> A = +oo ) )
11	5, 10	impbid2 204	1 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   = wceq 1374   e. wcel 1762   class class class wbr 4440   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623

This theorem is referenced by:  xrrebnd  11358  xlt2add  11441  supxrbnd1  11502  supxrbnd2  11503  supxrgtmnf  11510  supxrre2  11512  ioopnfsup  11947  icopnfsup  11948  xrsdsreclblem  18225  ovoliun  21644  ovolicopnf  21663  voliunlem3  21690  volsup  21694  itg2seq  21877  nmoreltpnf  25346  nmopreltpnf  26450  xgepnf  27224  ismblfin  29619