Theorem nltpnft 11130

Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
nltpnft	|- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Proof of Theorem nltpnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11084	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		xrltnr 11093	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> -. +oo < +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- -. +oo < +oo
4		breq1 4290	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A < +oo <-> +oo < +oo ) )
5	3, 4	mtbiri 303	. 2 |- ( A = +oo -> -. A < +oo )
6		pnfge 11102	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7		xrleloe 11113	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
8	1, 7	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> ( A < +oo \/ A = +oo ) ) )
9	6, 8	mpbid 210	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < +oo \/ A = +oo ) )
10	9	ord 377	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -. A < +oo -> A = +oo ) )
11	5, 10	impbid2 204	1 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> -. A < +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4287   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416

This theorem is referenced by:  xrrebnd  11132  xlt2add  11215  supxrbnd1  11276  supxrbnd2  11277  supxrgtmnf  11284  supxrre2  11286  ioopnfsup  11695  icopnfsup  11696  xrsdsreclblem  17834  ovoliun  20963  ovolicopnf  20982  voliunlem3  21008  volsup  21012  itg2seq  21195  nmoreltpnf  24120  nmopreltpnf  25224  xgepnf  25994  ismblfin  28385