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Theorem xrsdsreclblem 19611

Description: Lemma for xrsdsreclb 19612. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ^*_𝑠)

**Assertion**
Ref	Expression
xrsdsreclblem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

**Proof of Theorem xrsdsreclblem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
2		xrleltne 11854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
3		mnfxr 9975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ^*)
5		simpl1 1057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		simpl2 1058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
7		pnfnre 9960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 2885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		mnfle 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 11867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13		xrltne 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15		xaddpnf1 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +_𝑒 +∞) = +∞)
16	6, 14, 15	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 +∞) = +∞)
17	16	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
18	8, 17	mtbiri 316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19		ngtmnft 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22		xnegeq 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_𝑒𝐴 = -_𝑒-∞)
23		xnegmnf 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_𝑒-∞ = +∞
24	22, 23	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_𝑒𝐴 = +∞)
25	24	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) = (𝐵 +_𝑒 +∞))
26	25	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
27	21, 26	syl5ibcom 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
28	20, 27	sylbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
29	18, 28	mt3d 139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30		xrre2 11875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
34	5	xnegcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
35		xnegpnf 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
36		pnfge 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → 𝐵 ≤ +∞)
37	6, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39		xltnegi 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < +∞) → -_𝑒+∞ < -_𝑒𝐴)
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒+∞ < -_𝑒𝐴)
41	35, 40	syl5eqbrr 4619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -_𝑒𝐴)
42		xrltne 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < -_𝑒𝐴) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
44		xaddpnf2 11932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) = +∞)
45	34, 43, 44	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) = +∞)
46	45	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
47	8, 46	mtbiri 316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48		nltpnft 11871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
49	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) = (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴))
51	50	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
52	21, 51	syl5ibcom 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
53	49, 52	sylbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
54	47, 53	mt3d 139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55		xrre2 11875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	31, 56	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
58	57	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59	58	3expia 1259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60	59	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
61	2, 60	sylbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
62	1, 61	syl5bi 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63	62	3exp 1256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
64	63	com34 89	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65	64	3imp1 1272	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 +∞cpnf 9950 -∞cmnf 9951 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 -_𝑒cxne 11819 +_𝑒 cxad 11820 distcds 15777 ℝ^*_𝑠cxrs 15983

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-op 4132 df-uni 4373 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-xneg 11822 df-xadd 11823

This theorem is referenced by: xrsdsreclb 19612

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