MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xltnegi 11921
Description: Forward direction of xltneg 11922. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 11826 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 11826 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 ltneg 10407 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4 rexneg 11916 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5 rexneg 11916 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
64, 5breqan12rd 4600 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
73, 6bitr4d 270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
87biimpd 218 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9 xnegeq 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10 xnegpnf 11914 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
119, 10syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13 renegcl 10223 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
145, 13eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15 mnflt 11833 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
1812, 17eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
1918a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
20 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
2120breq2d 4595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
22 rexr 9964 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 nltmnf 11839 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2625pm2.21d 117 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
2721, 26sylbid 229 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
288, 19, 273jaodan 1386 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
292, 28sylan2b 491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3029expimpd 627 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
31 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
3231breq1d 4593 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
33 pnfnlt 11838 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3534pm2.21d 117 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3632, 35sylbid 229 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3736expimpd 627 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
38 breq1 4586 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
3938anbi2d 736 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
40 renegcl 10223 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
43 ltpnf 11830 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 < +∞)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
4511adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
46 mnfltpnf 11836 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
4745, 46syl6eqbr 4622 . . . . . . . 8 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
48 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
49 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
50 nltmnf 11839 . . . . . . . . . . . 12 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ¬ -∞ < -∞
5251pm2.21i 115 . . . . . . . . . 10 (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
5348, 52syl6bi 242 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
5453imp 444 . . . . . . . 8 ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
5544, 47, 543jaoian 1385 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
562, 55sylanb 488 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
57 xnegeq 11912 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
58 xnegmnf 11915 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
5957, 58syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
6059breq2d 4595 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
6156, 60syl5ibr 235 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6239, 61sylbid 229 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6330, 37, 623jaoi 1383 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
641, 63sylbi 206 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
65643impib 1254 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3o 1030  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146  -𝑒cxne 11819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822
This theorem is referenced by:  xltneg  11922  xrsdsreclblem  19611
  Copyright terms: Public domain W3C validator