MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclblem Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsreclblem 17834
Description: Lemma for xrsdsreclb 17835. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2688 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
2 xrleltne 11114 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
3 mnfxr 11086 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
5 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
7 pnfnre 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e/  RR
87neli 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. +oo  e.  RR
9 mnfle 11105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
105, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <_  A )
11 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  <  B
)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 11126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  B )
13 xrltne 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ -oo  <  B )  ->  B  =/= -oo )
144, 6, 12, 13syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  =/= -oo )
15 xaddpnf1 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
166, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
1716eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( B +e +oo )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
188, 17mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( B +e +oo )  e.  RR )
19 ngtmnft 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
205, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e  -e A )  e.  RR )
22 xnegeq 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
23 xnegmnf 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e -oo  = +oo
2422, 23syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  = +oo )
2524oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  = -oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( B +e +oo ) )
2625eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  = -oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2721, 26syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2820, 27sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -. -oo  <  A  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2918, 28mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  A )
30 xrre2 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <  B ) )  ->  A  e.  RR )
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
32 pnfxr 11084 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
345xnegcld 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  e. 
RR* )
35 xnegpnf 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e +oo  = -oo
36 pnfge 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
376, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  <_ +oo )
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  < +oo )
39 xltnegi 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  A  < +oo )  ->  -e +oo  <  -e A )
405, 33, 38, 39syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e +oo  <  -e A )
4135, 40syl5eqbrr 4321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  -e
A )
42 xrltne 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -e
A  e.  RR*  /\ -oo  <  -e A )  ->  -e A  =/= -oo )
434, 34, 41, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  =/= -oo )
44 xaddpnf2 11189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e A  =/= -oo )  -> 
( +oo +e  -e A )  = +oo )
4534, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( +oo +e  -e A )  = +oo )
4645eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( +oo +e  -e A )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
478, 46mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( +oo +e  -e A )  e.  RR )
48 nltpnft 11130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
496, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
50 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( +oo +e  -e A ) )
5150eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  = +oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5221, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5349, 52sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -.  B  < +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5447, 53mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  < +oo )
55 xrre2 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  < +oo ) )  ->  B  e.  RR )
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5731, 56jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
5857ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
59583expia 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
60593adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
612, 60sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =/=  A  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
621, 61syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
63623exp 1186 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
6463com34 83 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  =/=  B  ->  ( A  <_  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
65643imp1 1200 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    -ecxne 11078   +ecxad 11079   distcds 14239   RR*scxrs 14430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-xneg 11081  df-xadd 11082
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  17835
  Copyright terms: Public domain W3C validator