Theorem xrsdsreclblem 17834

Description: Lemma for xrsdsreclb 17835. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	|- D = ( dist ` RR*s )

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclblem	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2688	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
2		xrleltne 11114	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B =/= A ) )
3		mnfxr 11086	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo e. RR* )
5		simpl1 991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR* )
6		simpl2 992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR* )
7		pnfnre 9417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e/ RR
8	7	neli 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. +oo e. RR
9		mnfle 11105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
10	5, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo <_ A )
11		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < B )
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 11126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < B )
13		xrltne 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ B e. RR* /\ -oo < B ) -> B =/= -oo )
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B =/= -oo )
15		xaddpnf1 11188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
16	6, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
17	16	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( B +e +oo ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
18	8, 17	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( B +e +oo ) e. RR )
19		ngtmnft 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
20	5, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e -e A ) e. RR )
22		xnegeq 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
23		xnegmnf 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e -oo = +oo
24	22, 23	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = -oo -> -e A = +oo )
25	24	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = -oo -> ( B +e -e A ) = ( B +e +oo ) )
26	25	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = -oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( B +e +oo ) e. RR ) )
27	21, 26	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
28	20, 27	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. -oo < A -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
29	18, 28	mt3d 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < A )
30		xrre2 11134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( -oo < A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR )
32		pnfxr 11084	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> +oo e. RR* )
34	5	xnegcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A e. RR* )
35		xnegpnf 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e +oo = -oo
36		pnfge 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
37	6, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B <_ +oo )
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < +oo )
39		xltnegi 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* /\ A < +oo ) -> -e +oo < -e A )
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e +oo < -e A )
41	35, 40	syl5eqbrr 4321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < -e A )
42		xrltne 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -oo < -e A ) -> -e A =/= -oo )
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A =/= -oo )
44		xaddpnf2 11189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e A =/= -oo ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
45	34, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
46	45	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( +oo +e -e A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
47	8, 46	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( +oo +e -e A ) e. RR )
48		nltpnft 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
49	6, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
50		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = +oo -> ( B +e -e A ) = ( +oo +e -e A ) )
51	50	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = +oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
52	21, 51	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
53	49, 52	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. B < +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
54	47, 53	mt3d 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B < +oo )
55		xrre2 11134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A < B /\ B < +oo ) ) -> B e. RR )
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR )
57	31, 56	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
59	58	3expia 1189	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
60	59	3adant3 1008	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
61	2, 60	sylbird 235	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B =/= A -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
62	1, 61	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
63	62	3exp 1186	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A <_ B -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
64	63	com34 83	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A =/= B -> ( A <_ B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
65	64	3imp1 1200	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411   -ecxne 11078   +ecxad 11079   distcds 14239   RR*scxrs 14430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-xneg 11081  df-xadd 11082

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  17835