Theorem xrsdsreclblem 18949

Description: Lemma for xrsdsreclb 18950. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	|- D = ( dist ` RR*s )

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclblem	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2700	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
2		xrleltne 11444	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B =/= A ) )
3		mnfxr 11414	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo e. RR* )
5		simpl1 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR* )
6		simpl2 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR* )
7		pnfnre 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e/ RR
8	7	neli 2767	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. +oo e. RR
9		mnfle 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo <_ A )
11		simpl3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < B )
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < B )
13		xrltne 11460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ B e. RR* /\ -oo < B ) -> B =/= -oo )
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B =/= -oo )
15		xaddpnf1 11519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
16	6, 14, 15	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
17	16	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( B +e +oo ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
18	8, 17	mtbiri 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( B +e +oo ) e. RR )
19		ngtmnft 11462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
21		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e -e A ) e. RR )
22		xnegeq 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
23		xnegmnf 11503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e -oo = +oo
24	22, 23	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = -oo -> -e A = +oo )
25	24	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = -oo -> ( B +e -e A ) = ( B +e +oo ) )
26	25	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = -oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( B +e +oo ) e. RR ) )
27	21, 26	syl5ibcom 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
28	20, 27	sylbird 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. -oo < A -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
29	18, 28	mt3d 128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < A )
30		xrre2 11465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( -oo < A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR )
32		pnfxr 11412	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> +oo e. RR* )
34	5	xnegcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A e. RR* )
35		xnegpnf 11502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e +oo = -oo
36		pnfge 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
37	6, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B <_ +oo )
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < +oo )
39		xltnegi 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* /\ A < +oo ) -> -e +oo < -e A )
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e +oo < -e A )
41	35, 40	syl5eqbrr 4460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < -e A )
42		xrltne 11460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -oo < -e A ) -> -e A =/= -oo )
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A =/= -oo )
44		xaddpnf2 11520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e A =/= -oo ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
45	34, 43, 44	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
46	45	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( +oo +e -e A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
47	8, 46	mtbiri 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( +oo +e -e A ) e. RR )
48		nltpnft 11461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
49	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
50		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = +oo -> ( B +e -e A ) = ( +oo +e -e A ) )
51	50	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = +oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
52	21, 51	syl5ibcom 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
53	49, 52	sylbird 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. B < +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
54	47, 53	mt3d 128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B < +oo )
55		xrre2 11465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A < B /\ B < +oo ) ) -> B e. RR )
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR )
57	31, 56	jca 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
58	57	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
59	58	3expia 1207	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
60	59	3adant3 1025	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
61	2, 60	sylbird 238	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B =/= A -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
62	1, 61	syl5bi 220	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
63	62	3exp 1204	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A <_ B -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
64	63	com34 86	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A =/= B -> ( A <_ B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
65	64	3imp1 1218	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   -ecxne 11406   +ecxad 11407   distcds 15161   RR*scxrs 15357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-xneg 11409  df-xadd 11410

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  18950