MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclblem Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsreclblem 18334
Description: Lemma for xrsdsreclb 18335. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2736 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
2 xrleltne 11363 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
3 mnfxr 11335 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
5 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
7 pnfnre 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e/  RR
87neli 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. +oo  e.  RR
9 mnfle 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
105, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <_  A )
11 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  <  B
)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  B )
13 xrltne 11378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ -oo  <  B )  ->  B  =/= -oo )
144, 6, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  =/= -oo )
15 xaddpnf1 11437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
166, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( B +e +oo )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
188, 17mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( B +e +oo )  e.  RR )
19 ngtmnft 11380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
205, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e  -e A )  e.  RR )
22 xnegeq 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
23 xnegmnf 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e -oo  = +oo
2422, 23syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  = +oo )
2524oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  = -oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( B +e +oo ) )
2625eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  = -oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2721, 26syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2820, 27sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -. -oo  <  A  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2918, 28mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  A )
30 xrre2 11383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <  B ) )  ->  A  e.  RR )
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
32 pnfxr 11333 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
345xnegcld 11504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  e. 
RR* )
35 xnegpnf 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e +oo  = -oo
36 pnfge 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
376, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  <_ +oo )
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  < +oo )
39 xltnegi 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  A  < +oo )  ->  -e +oo  <  -e A )
405, 33, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e +oo  <  -e A )
4135, 40syl5eqbrr 4487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  -e
A )
42 xrltne 11378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -e
A  e.  RR*  /\ -oo  <  -e A )  ->  -e A  =/= -oo )
434, 34, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  =/= -oo )
44 xaddpnf2 11438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e A  =/= -oo )  -> 
( +oo +e  -e A )  = +oo )
4534, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( +oo +e  -e A )  = +oo )
4645eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( +oo +e  -e A )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
478, 46mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( +oo +e  -e A )  e.  RR )
48 nltpnft 11379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
496, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
50 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( +oo +e  -e A ) )
5150eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  = +oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5221, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5349, 52sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -.  B  < +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5447, 53mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  < +oo )
55 xrre2 11383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  < +oo ) )  ->  B  e.  RR )
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5731, 56jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
5857ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
59583expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
60593adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
612, 60sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =/=  A  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
621, 61syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
63623exp 1195 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
6463com34 83 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  =/=  B  ->  ( A  <_  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
65643imp1 1209 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    -ecxne 11327   +ecxad 11328   distcds 14581   RR*scxrs 14772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-xneg 11330  df-xadd 11331
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  18335
  Copyright terms: Public domain W3C validator