MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclblem Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsreclblem 18949
Description: Lemma for xrsdsreclb 18950. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2700 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
2 xrleltne 11444 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
3 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
5 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
7 pnfnre 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e/  RR
87neli 2767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. +oo  e.  RR
9 mnfle 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <_  A )
11 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  <  B
)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  B )
13 xrltne 11460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ -oo  <  B )  ->  B  =/= -oo )
144, 6, 12, 13syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  =/= -oo )
15 xaddpnf1 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
166, 14, 15syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
1716eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( B +e +oo )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
188, 17mtbiri 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( B +e +oo )  e.  RR )
19 ngtmnft 11462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
21 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e  -e A )  e.  RR )
22 xnegeq 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
23 xnegmnf 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e -oo  = +oo
2422, 23syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  = +oo )
2524oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  = -oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( B +e +oo ) )
2625eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  = -oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2721, 26syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2820, 27sylbird 238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -. -oo  <  A  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2918, 28mt3d 128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  A )
30 xrre2 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <  B ) )  ->  A  e.  RR )
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
32 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
345xnegcld 11586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  e. 
RR* )
35 xnegpnf 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e +oo  = -oo
36 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  <_ +oo )
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  < +oo )
39 xltnegi 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  A  < +oo )  ->  -e +oo  <  -e A )
405, 33, 38, 39syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e +oo  <  -e A )
4135, 40syl5eqbrr 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  -e
A )
42 xrltne 11460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -e
A  e.  RR*  /\ -oo  <  -e A )  ->  -e A  =/= -oo )
434, 34, 41, 42syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  =/= -oo )
44 xaddpnf2 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e A  =/= -oo )  -> 
( +oo +e  -e A )  = +oo )
4534, 43, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( +oo +e  -e A )  = +oo )
4645eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( +oo +e  -e A )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
478, 46mtbiri 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( +oo +e  -e A )  e.  RR )
48 nltpnft 11461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
50 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( +oo +e  -e A ) )
5150eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  = +oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5221, 51syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5349, 52sylbird 238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -.  B  < +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5447, 53mt3d 128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  < +oo )
55 xrre2 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  < +oo ) )  ->  B  e.  RR )
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5731, 56jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
5857ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
59583expia 1207 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
60593adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
612, 60sylbird 238 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =/=  A  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
621, 61syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
63623exp 1204 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
6463com34 86 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  =/=  B  ->  ( A  <_  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
65643imp1 1218 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    -ecxne 11406   +ecxad 11407   distcds 15161   RR*scxrs 15357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-xneg 11409  df-xadd 11410
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  18950
  Copyright terms: Public domain W3C validator