MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclblem Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsreclblem 17987
Description: Lemma for xrsdsreclb 17988. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2721 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
2 xrleltne 11236 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
3 mnfxr 11208 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  e.  RR* )
5 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
7 pnfnre 9539 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e/  RR
87neli 2787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. +oo  e.  RR
9 mnfle 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
105, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <_  A )
11 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  <  B
)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  B )
13 xrltne 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ -oo  <  B )  ->  B  =/= -oo )
144, 6, 12, 13syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  =/= -oo )
15 xaddpnf1 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
166, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
1716eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( B +e +oo )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
188, 17mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( B +e +oo )  e.  RR )
19 ngtmnft 11253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
205, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B +e  -e A )  e.  RR )
22 xnegeq 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
23 xnegmnf 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e -oo  = +oo
2422, 23syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  = +oo )
2524oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  = -oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( B +e +oo ) )
2625eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  = -oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2721, 26syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2820, 27sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -. -oo  <  A  ->  ( B +e +oo )  e.  RR ) )
2918, 28mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  A )
30 xrre2 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <  B ) )  ->  A  e.  RR )
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
32 pnfxr 11206 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
345xnegcld 11377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  e. 
RR* )
35 xnegpnf 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e +oo  = -oo
36 pnfge 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
376, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  <_ +oo )
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  A  < +oo )
39 xltnegi 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  A  < +oo )  ->  -e +oo  <  -e A )
405, 33, 38, 39syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e +oo  <  -e A )
4135, 40syl5eqbrr 4437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  -> -oo  <  -e
A )
42 xrltne 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -e
A  e.  RR*  /\ -oo  <  -e A )  ->  -e A  =/= -oo )
434, 34, 41, 42syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -e A  =/= -oo )
44 xaddpnf2 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e A  =/= -oo )  -> 
( +oo +e  -e A )  = +oo )
4534, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( +oo +e  -e A )  = +oo )
4645eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( ( +oo +e  -e A )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
478, 46mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  -.  ( +oo +e  -e A )  e.  RR )
48 nltpnft 11252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
496, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
50 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e  -e
A )  =  ( +oo +e  -e A ) )
5150eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  = +oo  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  <->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5221, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( B  = +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5349, 52sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( -.  B  < +oo  ->  ( +oo +e  -e A )  e.  RR ) )
5447, 53mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  < +oo )
55 xrre2 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  < +oo ) )  ->  B  e.  RR )
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5731, 56jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <  B )  /\  ( B +e  -e
A )  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
5857ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
59583expia 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
60593adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
612, 60sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =/=  A  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
621, 61syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
63623exp 1187 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  =/=  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
6463com34 83 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR*  ->  ( A  =/=  B  ->  ( A  <_  B  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) ) ) )
65643imp1 1201 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   +oocpnf 9529   -oocmnf 9530   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533    -ecxne 11200   +ecxad 11201   distcds 14369   RR*scxrs 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-xneg 11203  df-xadd 11204
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  17988
  Copyright terms: Public domain W3C validator