Theorem xrsdsreclblem 18334

Description: Lemma for xrsdsreclb 18335. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	|- D = ( dist ` RR*s )

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclblem	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2736	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
2		xrleltne 11363	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B =/= A ) )
3		mnfxr 11335	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo e. RR* )
5		simpl1 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR* )
6		simpl2 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR* )
7		pnfnre 9647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e/ RR
8	7	neli 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. +oo e. RR
9		mnfle 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
10	5, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo <_ A )
11		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < B )
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < B )
13		xrltne 11378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ B e. RR* /\ -oo < B ) -> B =/= -oo )
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B =/= -oo )
15		xaddpnf1 11437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
16	6, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
17	16	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( B +e +oo ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
18	8, 17	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( B +e +oo ) e. RR )
19		ngtmnft 11380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
20	5, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e -e A ) e. RR )
22		xnegeq 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
23		xnegmnf 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e -oo = +oo
24	22, 23	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = -oo -> -e A = +oo )
25	24	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = -oo -> ( B +e -e A ) = ( B +e +oo ) )
26	25	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = -oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( B +e +oo ) e. RR ) )
27	21, 26	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
28	20, 27	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. -oo < A -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
29	18, 28	mt3d 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < A )
30		xrre2 11383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( -oo < A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR )
32		pnfxr 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> +oo e. RR* )
34	5	xnegcld 11504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A e. RR* )
35		xnegpnf 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e +oo = -oo
36		pnfge 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
37	6, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B <_ +oo )
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < +oo )
39		xltnegi 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* /\ A < +oo ) -> -e +oo < -e A )
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e +oo < -e A )
41	35, 40	syl5eqbrr 4487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < -e A )
42		xrltne 11378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -oo < -e A ) -> -e A =/= -oo )
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A =/= -oo )
44		xaddpnf2 11438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e A =/= -oo ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
45	34, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
46	45	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( +oo +e -e A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
47	8, 46	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( +oo +e -e A ) e. RR )
48		nltpnft 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
49	6, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
50		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = +oo -> ( B +e -e A ) = ( +oo +e -e A ) )
51	50	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = +oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
52	21, 51	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
53	49, 52	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. B < +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
54	47, 53	mt3d 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B < +oo )
55		xrre2 11383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A < B /\ B < +oo ) ) -> B e. RR )
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR )
57	31, 56	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
59	58	3expia 1198	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
60	59	3adant3 1016	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
61	2, 60	sylbird 235	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B =/= A -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
62	1, 61	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
63	62	3exp 1195	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A <_ B -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
64	63	com34 83	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A =/= B -> ( A <_ B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
65	64	3imp1 1209	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   -ecxne 11327   +ecxad 11328   distcds 14581   RR*scxrs 14772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-xneg 11330  df-xadd 11331

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  18335