Theorem xrsdsreclblem 17987

Description: Lemma for xrsdsreclb 17988. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	|- D = ( dist ` RR*s )

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclblem	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2721	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
2		xrleltne 11236	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B =/= A ) )
3		mnfxr 11208	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo e. RR* )
5		simpl1 991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR* )
6		simpl2 992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR* )
7		pnfnre 9539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e/ RR
8	7	neli 2787	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. +oo e. RR
9		mnfle 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
10	5, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo <_ A )
11		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < B )
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < B )
13		xrltne 11251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ B e. RR* /\ -oo < B ) -> B =/= -oo )
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B =/= -oo )
15		xaddpnf1 11310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
16	6, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
17	16	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( B +e +oo ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
18	8, 17	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( B +e +oo ) e. RR )
19		ngtmnft 11253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
20	5, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e -e A ) e. RR )
22		xnegeq 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
23		xnegmnf 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e -oo = +oo
24	22, 23	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = -oo -> -e A = +oo )
25	24	oveq2d 6219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = -oo -> ( B +e -e A ) = ( B +e +oo ) )
26	25	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = -oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( B +e +oo ) e. RR ) )
27	21, 26	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
28	20, 27	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. -oo < A -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
29	18, 28	mt3d 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < A )
30		xrre2 11256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( -oo < A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR )
32		pnfxr 11206	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> +oo e. RR* )
34	5	xnegcld 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A e. RR* )
35		xnegpnf 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e +oo = -oo
36		pnfge 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
37	6, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B <_ +oo )
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < +oo )
39		xltnegi 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* /\ A < +oo ) -> -e +oo < -e A )
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e +oo < -e A )
41	35, 40	syl5eqbrr 4437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < -e A )
42		xrltne 11251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -oo < -e A ) -> -e A =/= -oo )
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A =/= -oo )
44		xaddpnf2 11311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e A =/= -oo ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
45	34, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
46	45	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( +oo +e -e A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
47	8, 46	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( +oo +e -e A ) e. RR )
48		nltpnft 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
49	6, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
50		oveq1 6210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = +oo -> ( B +e -e A ) = ( +oo +e -e A ) )
51	50	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = +oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
52	21, 51	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
53	49, 52	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. B < +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
54	47, 53	mt3d 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B < +oo )
55		xrre2 11256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A < B /\ B < +oo ) ) -> B e. RR )
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR )
57	31, 56	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
59	58	3expia 1190	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
60	59	3adant3 1008	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
61	2, 60	sylbird 235	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B =/= A -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
62	1, 61	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
63	62	3exp 1187	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A <_ B -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
64	63	com34 83	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A =/= B -> ( A <_ B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
65	64	3imp1 1201	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   +oocpnf 9529   -oocmnf 9530   RR*cxr 9531   < clt 9532   <_ cle 9533   -ecxne 11200   +ecxad 11201   distcds 14369   RR*scxrs 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-xneg 11203  df-xadd 11204

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  17988