MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngtmnft 11872
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 9975 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 11829 . . . 4 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ -∞ < -∞
4 breq2 4587 . . 3 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
53, 4mtbiri 316 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
6 mnfle 11845 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
7 xrleloe 11853 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
81, 7mpan 702 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
96, 8mpbid 221 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
109ord 391 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴 → -∞ = 𝐴))
11 eqcom 2617 . . 3 (-∞ = 𝐴𝐴 = -∞)
1210, 11syl6ib 240 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴𝐴 = -∞))
135, 12impbid2 215 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959
This theorem is referenced by:  xrrebnd  11873  ge0nemnf  11878  xlt2add  11962  xrsdsreclblem  19611  xblpnfps  22010  xblpnf  22011  xlemnf  28905  supxrnemnf  28924  itg2addnclem  32631  supxrgelem  38494  supxrge  38495  nemnftgtmnft  38501  infxrbnd2  38526
  Copyright terms: Public domain W3C validator