MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Structured version   Unicode version

Theorem ngtmnft 11135
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11090 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
2 xrltnr 11097 . . . 4  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  -. -oo  < -oo
4 breq2 4293 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( -oo  <  A  <-> -oo  < -oo ) )
53, 4mtbiri 303 . 2  |-  ( A  = -oo  ->  -. -oo 
<  A )
6 mnfle 11109 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
7 xrleloe 11117 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo  <_  A  <->  ( -oo  <  A  \/ -oo  =  A ) ) )
81, 7mpan 665 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  A  <->  ( -oo  <  A  \/ -oo  =  A ) ) )
96, 8mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <  A  \/ -oo  =  A ) )
109ord 377 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -. -oo  <  A  -> -oo  =  A ) )
11 eqcom 2443 . . 3  |-  ( -oo  =  A  <->  A  = -oo )
1210, 11syl6ib 226 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -. -oo  <  A  ->  A  = -oo ) )
135, 12impbid2 204 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   -oocmnf 9412   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420
This theorem is referenced by:  xrrebnd  11136  ge0nemnf  11141  xlt2add  11219  xrsdsreclblem  17818  xblpnfps  19929  xblpnf  19930  xlemnf  25979  supxrnemnf  25989  itg2addnclem  28368
  Copyright terms: Public domain W3C validator