MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Structured version   Unicode version

Theorem ngtmnft 11380
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11335 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
2 xrltnr 11342 . . . 4  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  -. -oo  < -oo
4 breq2 4457 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( -oo  <  A  <-> -oo  < -oo ) )
53, 4mtbiri 303 . 2  |-  ( A  = -oo  ->  -. -oo 
<  A )
6 mnfle 11354 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
7 xrleloe 11362 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo  <_  A  <->  ( -oo  <  A  \/ -oo  =  A ) ) )
81, 7mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  A  <->  ( -oo  <  A  \/ -oo  =  A ) ) )
96, 8mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <  A  \/ -oo  =  A ) )
109ord 377 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -. -oo  <  A  -> -oo  =  A ) )
11 eqcom 2476 . . 3  |-  ( -oo  =  A  <->  A  = -oo )
1210, 11syl6ib 226 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -. -oo  <  A  ->  A  = -oo ) )
135, 12impbid2 204 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646
This theorem is referenced by:  xrrebnd  11381  ge0nemnf  11386  xlt2add  11464  xrsdsreclblem  18334  xblpnfps  20766  xblpnf  20767  xlemnf  27394  supxrnemnf  27406  itg2addnclem  29993
  Copyright terms: Public domain W3C validator