Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrbnd2 38526
 Description: The infimum of a bounded-below set of extended reals is greater than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
infxrbnd2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrbnd2
StepHypRef Expression
1 ralnex 2975 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2 ssel2 3563 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3 rexr 9964 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
64, 5xrltnled 38520 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
72, 3, 6syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
87an32s 842 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
98rexbidva 3031 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦))
10 rexnal 2978 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
119, 10syl6rbb 276 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1211ralbidva 2968 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
131, 12syl5bbr 273 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
14 infxrunb2 38525 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
15 infxrcl 12035 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
16 ngtmnft 11872 . . . 4 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
1813, 14, 173bitrd 293 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
1918con4bid 306 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  infcinf 8230  ℝcr 9814  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148 This theorem is referenced by:  infleinf  38529
 Copyright terms: Public domain W3C validator