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Theorem infleinf 38529
 Description: If any element of 𝐵 can be approximated from above by members of 𝐴, then the infimum of 𝐴 is smaller or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦))
Assertion
Ref Expression
infleinf (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infleinf
Dummy variables 𝑟 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infleinf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 infxrcl 12035 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 pnfge 11840 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ +∞)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ +∞)
7 infeq1 8265 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → inf(𝐵, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
8 xrinf0 12039 . . . . . . 7 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
107, 9eqtrd 2644 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞)
1110eqcomd 2616 . . . 4 (𝐵 = ∅ → +∞ = inf(𝐵, ℝ*, < ))
1211adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐵 = ∅) → +∞ = inf(𝐵, ℝ*, < ))
136, 12breqtrd 4609 . 2 ((𝜑𝐵 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
14 neqne 2790 . . . 4 𝐵 = ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
1514adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
163adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ)
18 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
2017, 19resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ → (𝑟 − 2) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 − 2) ∈ ℝ)
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞)
23 infleinf.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
24 infxrunb2 38525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞))
2722, 26mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦)
29 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑟 − 2) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝑟 − 2)))
3029rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑟 − 2) → (∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2)))
3130rspcva 3280 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 − 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2))
3221, 28, 31syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2))
33 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
34 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
35 1rp 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 1 ∈ ℝ+)
37 1ex 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
38 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 1 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
39383anbi3d 1397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 1 → ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑𝑥𝐵 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
40 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 1 → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 +𝑒 1))
4140breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 1 → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)))
4241rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 1 → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)))
4339, 42imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐵 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))))
44 infleinf.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦))
4537, 43, 44vtocl 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
4633, 34, 36, 45syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
4746adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
48473adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
49 simp1l 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → 𝜑)
5049ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝜑)
5150, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5250, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
53 simp1r 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → 𝑟 ∈ ℝ)
5453ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑟 ∈ ℝ)
55 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → 𝑥𝐵)
5655ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑥𝐵)
57 simpll3 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑥 < (𝑟 − 2))
58 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑧𝐴)
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
6051, 52, 54, 56, 57, 58, 59infleinflem2 38528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑧 < 𝑟)
6160ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1) → 𝑧 < 𝑟))
6261reximdva 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟))
6348, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)
64633exp 1256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐵 → (𝑥 < (𝑟 − 2) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)))
6564adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐵 → (𝑥 < (𝑟 − 2) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)))
6665rexlimdv 3012 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟))
6732, 66mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)
6867ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)
69 infxrunb2 38525 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
701, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
7170adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
7268, 71mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
7372, 22eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐵, ℝ*, < ))
7416, 73xreqled 38487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
7574adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
76 mnfxr 9975 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
7877ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ ∈ ℝ*)
79 infxrcl 12035 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8023, 79syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8180ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
82 mnfle 11845 . . . . . . 7 (inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
8381, 82syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
84 neqne 2790 . . . . . . . 8 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞ → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ -∞)
8584necomd 2837 . . . . . . 7 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞ → -∞ ≠ inf(𝐵, ℝ*, < ))
8685adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ ≠ inf(𝐵, ℝ*, < ))
8778, 81, 83, 86xrleneltd 38480 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ))
883ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8980ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
90 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑏(((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
9123ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
92 simpllr 795 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ ∅)
93 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ))
94 infxrbnd2 38526 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥 ↔ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )))
9523, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥 ↔ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )))
9695adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥 ↔ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )))
9793, 96mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥)
9897ad4ant13 1284 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥)
99 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
10099rphalfcld 11760 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
10190, 91, 92, 98, 100infrpge 38508 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐵 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)))
102 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → 𝜑)
103 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
104 rphalfcl 11734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
105104ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
106 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 / 2) ∈ V
107 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
1081073anbi3d 1397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑𝑥𝐵 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
109 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
110109breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))))
111110rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))))
112108, 111imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
113106, 112, 44vtocl 3232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
114102, 103, 105, 113syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
1151143adant3 1074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
116 simp11l 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝜑)
117116, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
118116, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
119 simp11 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝜑𝑤 ∈ ℝ+))
120119simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
121 simp12 1085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑥𝐵)
122 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)))
1231223ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)))
124 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑧𝐴)
125 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
126117, 118, 120, 121, 123, 124, 125infleinflem1 38527 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))
1271263exp 1256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑧𝐴 → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))))
128127rexlimdv 3012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤)))
129115, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))
1301293exp 1256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐵 → (𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))))
131130rexlimdv 3012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐵 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤)))
132131ad4ant14 1285 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐵 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤)))
133101, 132mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))
13488, 89, 133xrlexaddrp 38509 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13587, 134syldan 486 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13675, 135pm2.61dan 828 . . 3 ((𝜑𝐵 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13715, 136syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13813, 137pm2.61dan 828 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  1c1 9816  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708   +𝑒 cxad 11820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823 This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  39544
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