Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnr 11829
 Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltnr (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr
StepHypRef Expression
1 elxr 11826 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 ltnr 10011 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3 pnfnre 9960 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
43neli 2885 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
54intnan 951 . . . . . . . 8 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
65intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞)
7 pnfnemnf 9973 . . . . . . . . 9 +∞ ≠ -∞
87neii 2784 . . . . . . . 8 ¬ +∞ = -∞
98intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
106, 9pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
114intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
124intnan 951 . . . . . . 7 ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
1311, 12pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
1410, 13pm3.2ni 895 . . . . 5 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
16 ltxr 11825 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
1715, 15, 16mp2an 704 . . . . 5 (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
1814, 17mtbir 312 . . . 4 ¬ +∞ < +∞
19 breq12 4588 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
2019anidms 675 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
2118, 20mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22 mnfnre 9961 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
2322neli 2885 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
2423intnan 951 . . . . . . . 8 ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
2524intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞)
267nesymi 2839 . . . . . . . 8 ¬ -∞ = +∞
2726intnan 951 . . . . . . 7 ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
2825, 27pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
2923intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
3023intnan 951 . . . . . . 7 ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
3129, 30pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
3228, 31pm3.2ni 895 . . . . 5 ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33 mnfxr 9975 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
34 ltxr 11825 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
3533, 33, 34mp2an 704 . . . . 5 (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
3632, 35mtbir 312 . . . 4 ¬ -∞ < -∞
37 breq12 4588 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
3837anidms 675 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
3936, 38mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
402, 21, 393jaoi 1383 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
411, 40sylbi 206 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   <ℝ cltrr 9819  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958 This theorem is referenced by:  xrltnsym  11846  xrlttri  11848  nltpnft  11871  ngtmnft  11872  xrsupsslem  12009  xrinfmsslem  12010  xrub  12014  lbioo  12077  ubioo  12078  topnfbey  26717  lbioc  38586  icoub  38599  iccpartnel  39976
 Copyright terms: Public domain W3C validator