Theorem pnfnre 9960

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuninel 7288	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
2		df-pnf 9955	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3	2	eleq1i 2679	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
4	1, 3	mtbir 312	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
5		recn 9905	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
6	4, 5	mto 187	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
7	6	nelir 2886	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-nel 2783  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373  df-pnf 9955

This theorem is referenced by:  renepnf  9966  ltxrlt  9987  nn0nepnf  11248  xrltnr  11829  pnfnlt  11838  hashclb  13011  hasheq0  13015  pcgcd1  15419  pc2dvds  15421  ramtcl2  15553  odhash3  17814  xrsdsreclblem  19611  pnfnei  20834  iccpnfcnv  22551  i1f0rn  23255