Theorem supxrge 38495

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrge.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
supxrge	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrge.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		pnfge 11840	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ +∞)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5		supxrge.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8		supxrpnf 12020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
10	9	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
11	4, 10	breqtrd 4609	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13		supxrcl 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15		mnfle 11845	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	12, 17	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	adantlr 747	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20		simpl 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21		neqne 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23		nfv 1830	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
24	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
26	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29		rphalfcl 11734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 / 2) ∈ V
32		nfcv 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2)
33		supxrge.xph	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
35	33, 34	nfan 1816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36		nfv 1830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
37	35, 36	nfim 1813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
39	38	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
41	40	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
42	41	rexbidv 3034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
43	39, 42	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44		supxrge.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
45	32, 37, 43, 44	vtoclgf 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
46	31, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
47	28, 30, 46	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
48	47	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
49	48	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50		nfv 1830	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51		neneq 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
53	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54		ngtmnft 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
56	52, 55	mtbid 313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
57	56	notnotrd 127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
58	57	ad4ant13 1284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59	58	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
60	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61	60	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63		mnfxr 9975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
67	5	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69		ngtmnft 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
71	66, 70	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
72	71	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
73	72	adantllr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
74	29	rpxrd 11749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
75	29	rpred 11748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76		renepnf 9966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78		xaddmnf2 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
79	74, 77, 78	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
81	80	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
82	73, 81	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
83	82	adantlllr 38222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
84	83	adantlllr 38222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85	84	3adantl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
86	65, 85	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87		mnfle 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
88	1, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
90	89	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91	90	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
92	62, 64, 86, 91	xrletrid 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94	93	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
95	94	neneqd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
96	92, 95	condan 831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
98	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99		nltpnft 11871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
101	97, 100	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102	101	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
105	102, 104	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
106	105	3adantl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107		simpl2 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108	106, 107	condan 831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
109	108	ad5ant125 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
110	109	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
111	96, 110	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
112	67	ad5ant15 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
113	112	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114		xrrebnd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
116	111, 115	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119		rexadd 11937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120	116, 118, 119	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121	116, 118	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122	120, 121	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123	122	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126		simp3 1056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127	122	ltpnfd 11831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
128	61, 123, 125, 126, 127	xrlelttrd 11867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
129	59, 128	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
130		xrrebnd 11873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
131	61, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
132	129, 131	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133		rpre 11715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ)
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136		rexadd 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137	116, 135, 136	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138	116, 135	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139	137, 138	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140		rphalflt 11736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141	140	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
142	141	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143	118, 135, 116, 142	ltadd2dd 10075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144	120, 137	breq12d 4596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145	143, 144	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146	132, 122, 139, 126, 145	lelttrd 10074	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
147	146	3exp 1256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
148	50, 147	reximdai 2995	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
149	49, 148	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
150	23, 25, 27, 149	supxrgelem 38494	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
151	20, 22, 150	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
152	19, 151	pm2.61dan 828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
153	11, 152	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708   +_𝑒 cxad 11820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xadd 11823

This theorem is referenced by:  sge0gerp  39288