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Theorem supxrge 37516
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrge.xph  |-  F/ x ph
supxrge.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
supxrge.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
supxrge.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e x ) )
Assertion
Ref Expression
supxrge  |-  ( ph  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem supxrge
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrge.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2 pnfge 11440 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  <_ +oo )
43adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  A
)  ->  B  <_ +oo )
5 supxrge.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
65adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  A
)  ->  A  C_  RR* )
7 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  A
)  -> +oo  e.  A
)
8 supxrpnf 11612 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
96, 7, 8syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
109eqcomd 2430 . . 3  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  A
)  -> +oo  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
114, 10breqtrd 4448 . 2  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
12 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
13 supxrcl 11608 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
145, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
15 mnfle 11443 . . . . . . 7  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  -> -oo  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1614, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  -> -oo  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1716adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = -oo )  -> -oo  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1812, 17eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1918adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
20 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  -.  B  = -oo )  ->  ( ph  /\  -. +oo  e.  A ) )
21 neqne 37348 . . . . 5  |-  ( -.  B  = -oo  ->  B  =/= -oo )
2221adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  -.  B  = -oo )  ->  B  =/= -oo )
23 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ w
( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )
245adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
2524adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  ->  A  C_  RR* )
261adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
2726adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  ->  B  e.  RR* )
28 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ph )
29 rphalfcl 11335 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( w  /  2 )  e.  RR+ )
3029adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( w  /  2 )  e.  RR+ )
31 ovex 6334 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  /  2 )  e. 
_V
32 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( w  /  2
)
33 supxrge.xph . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
34 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( w  /  2
)  e.  RR+
3533, 34nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  (
w  /  2 )  e.  RR+ )
36 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  / 
2 ) )
3735, 36nfim 1980 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( w  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  / 
2 ) ) )
38 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( w  / 
2 )  ->  (
x  e.  RR+  <->  ( w  /  2 )  e.  RR+ ) )
3938anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( w  / 
2 )  ->  (
( ph  /\  x  e.  RR+ )  <->  ( ph  /\  ( w  /  2
)  e.  RR+ )
) )
40 oveq2 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( w  / 
2 )  ->  (
y +e x )  =  ( y +e ( w  /  2 ) ) )
4140breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( w  / 
2 )  ->  ( B  <_  ( y +e x )  <->  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) ) ) )
4241rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( w  / 
2 )  ->  ( E. y  e.  A  B  <_  ( y +e x )  <->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) ) ) )
4339, 42imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  / 
2 )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e x ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( w  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  / 
2 ) ) ) ) )
44 supxrge.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e x ) )
4532, 37, 43, 44vtoclgf 3137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  /  2 )  e.  _V  ->  (
( ph  /\  (
w  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) ) ) )
4631, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) ) )
4728, 30, 46syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) ) )
4847adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  / 
2 ) ) )
4948adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  / 
2 ) ) )
50 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )
51 neneq 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =/= -oo  ->  -.  B  = -oo )
5251adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  B  =/= -oo )  ->  -.  B  = -oo )
531adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  B  =/= -oo )  ->  B  e.  RR* )
54 ngtmnft 11470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = -oo  <->  -. -oo  <  B ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B  = -oo  <->  -. -oo  <  B
) )
5652, 55mtbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  =/= -oo )  ->  -.  -. -oo  <  B )
5756notnotrd 116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  =/= -oo )  -> -oo  <  B
)
5857ad4ant13 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  -> -oo  <  B )
59583ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> -oo  <  B )
6027adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
61603ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  ->  B  e.  RR* )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  B  e.  RR* )
63 mnfxr 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  -> -oo  e.  RR* )
65 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) ) )
66 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  ->  -. -oo  <  y )
675sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
6867adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  -> 
y  e.  RR* )
69 ngtmnft 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  = -oo  <->  -. -oo  <  y ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  -> 
( y  = -oo  <->  -. -oo 
<  y ) )
7166, 70mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  -> 
y  = -oo )
7271oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  =  ( -oo +e ( w  /  2 ) ) )
7372adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo  <  y
)  ->  ( y +e ( w  /  2 ) )  =  ( -oo +e ( w  / 
2 ) ) )
7429rpxrd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( w  /  2 )  e. 
RR* )
7529rpred 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( w  /  2 )  e.  RR )
76 renepnf 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  /  2 )  e.  RR  ->  (
w  /  2 )  =/= +oo )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( w  /  2 )  =/= +oo )
78 xaddmnf2 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  /  2
)  e.  RR*  /\  (
w  /  2 )  =/= +oo )  -> 
( -oo +e ( w  /  2 ) )  = -oo )
7974, 77, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( -oo +e ( w  /  2 ) )  = -oo )
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( -oo +e ( w  /  2 ) )  = -oo )
8180ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo  <  y
)  ->  ( -oo +e ( w  /  2 ) )  = -oo )
8273, 81eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo  <  y
)  ->  ( y +e ( w  /  2 ) )  = -oo )
8382adantlllr 37335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  = -oo )
8483adantlllr 37335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  -. -oo 
<  y )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  = -oo )
85843adantl3 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  ( y +e
( w  /  2
) )  = -oo )
8665, 85breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  B  <_ -oo )
87 mnfle 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  RR*  -> -oo  <_  B )
881, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> -oo  <_  B )
8988adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  -> -oo  <_  B )
9089ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  -. -oo  <  y )  -> -oo  <_  B )
91903ad2antl1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  -> -oo  <_  B )
9262, 64, 86, 91xrletrid 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  B  = -oo )
93 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  -. -oo  <  y )  ->  B  =/= -oo )
94933ad2antl1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  B  =/= -oo )
9594neneqd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  /\  -. -oo  <  y )  ->  -.  B  = -oo )
9692, 95condan 801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> -oo  <  y )
97 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  ->  -.  y  < +oo )
9867adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  ->  y  e.  RR* )
99 nltpnft 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  = +oo  <->  -.  y  < +oo ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  ->  (
y  = +oo  <->  -.  y  < +oo ) )
10197, 100mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  ->  y  = +oo )
102101eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  -> +oo  =  y )
103 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
104103adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  ->  y  e.  A )
105102, 104eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  -> +oo  e.  A )
1061053adantl2 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  -> +oo  e.  A )
107 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  < +oo )  ->  -. +oo  e.  A )
108106, 107condan 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  y  < +oo )
109108ad5ant125 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  ->  y  < +oo )
1101093adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
y  < +oo )
11196, 110jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( -oo  <  y  /\  y  < +oo ) )
11267ad5ant15 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
1131123adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
y  e.  RR* )
114 xrrebnd 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  e.  RR  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y  e.  RR  <->  ( -oo  <  y  /\  y  < +oo ) ) )
116111, 115mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
y  e.  RR )
11775adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( w  / 
2 )  e.  RR )
1181173ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( w  /  2
)  e.  RR )
119 rexadd 11533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( w  /  2
)  e.  RR )  ->  ( y +e ( w  / 
2 ) )  =  ( y  +  ( w  /  2 ) ) )
120116, 118, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  =  ( y  +  ( w  /  2 ) ) )
121116, 118readdcld 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y  +  ( w  /  2 ) )  e.  RR )
122120, 121eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  e.  RR )
123122rexrd 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  e.  RR* )
124 pnfxr 11420 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> +oo  e.  RR* )
126 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  ->  B  <_  ( y +e ( w  / 
2 ) ) )
127122ltpnfd 11431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  < +oo )
12861, 123, 125, 126, 127xrlelttrd 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  ->  B  < +oo )
12959, 128jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( -oo  <  B  /\  B  < +oo ) )
130 xrrebnd 11471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR  <->  ( -oo  <  B  /\  B  < +oo ) ) )
13161, 130syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( B  e.  RR  <->  ( -oo  <  B  /\  B  < +oo ) ) )
132129, 131mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  ->  B  e.  RR )
133 rpre 11316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  RR+  ->  w  e.  RR )
134133adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR )
1351343ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  ->  w  e.  RR )
136 rexadd 11533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( y +e
w )  =  ( y  +  w ) )
137116, 135, 136syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
w )  =  ( y  +  w ) )
138116, 135readdcld 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y  +  w
)  e.  RR )
139137, 138eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
w )  e.  RR )
140 rphalflt 11337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( w  /  2 )  < 
w )
141140adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( w  / 
2 )  <  w
)
1421413ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( w  /  2
)  <  w )
143118, 135, 116, 142ltadd2dd 9802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y  +  ( w  /  2 ) )  <  ( y  +  w ) )
144120, 137breq12d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( ( y +e ( w  / 
2 ) )  < 
( y +e
w )  <->  ( y  +  ( w  / 
2 ) )  < 
( y  +  w
) ) )
145143, 144mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  -> 
( y +e
( w  /  2
) )  <  (
y +e w ) )
146132, 122, 139, 126, 145lelttrd 9801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  A
)  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  /\  y  e.  A  /\  B  <_ 
( y +e
( w  /  2
) ) )  ->  B  <  ( y +e w ) )
1471463exp 1204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  A  ->  ( B  <_  ( y +e
( w  /  2
) )  ->  B  <  ( y +e
w ) ) ) )
14850, 147reximdai 2891 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  A  B  <_  ( y +e ( w  /  2 ) )  ->  E. y  e.  A  B  <  ( y +e w ) ) )
14949, 148mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  B  <  ( y +e w ) )
15023, 25, 27, 149supxrgelem 37515 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  B  =/= -oo )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
15120, 22, 150syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  A )  /\  -.  B  = -oo )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
15219, 151pm2.61dan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
15311, 152pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1661    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   class class class wbr 4423  (class class class)co 6306   supcsup 7964   RRcr 9546    + caddc 9550   +oocpnf 9680   -oocmnf 9681   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684    / cdiv 10277   2c2 10667   RR+crp 11310   +ecxad 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-sup 7966  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-2 10676  df-rp 11311  df-xadd 11418
This theorem is referenced by:  sge0gerp  38146
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