Theorem xrletrid 11862

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
4		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		xrletri3 11861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
8	3, 7	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  infxrre  12038  ixxlb  12068  imasdsf1olem  21988  mbflimsup  23239  xrgepnfd  38488  supxrge  38495  eliccnelico  38603  ismbl4  38886  rrxsnicc  39196  sge0fsum  39280  sge0split  39302  sge0iunmptlemre  39308  sge0isum  39320  sge0xaddlem2  39327  sge0reuz  39340  meale0eq0  39371  carageniuncl  39413  caratheodorylem2  39417  caragenel2d  39422  omess0  39424  ovn0lem  39455  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1lelem3  39483  hoidmvlelem4  39488  ovnhoi  39493  ovolval2lem  39533  ovolval5lem3  39544