Theorem ltpnfd 11831

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 11830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-pnf 9955  df-xr 9957  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  limsupgre  14060  fprodge1  14565  mbflimsup  23239  absfico  38405  supxrge  38495  infxr  38524  infleinflem2  38528  xrralrecnnge  38554  iocopn  38593  ge0lere  38606  ressiooinf  38631  fsumge0cl  38640  limcicciooub  38704  limcresiooub  38709  limcleqr  38711  icccncfext  38773  fourierdlem31  39031  fourierdlem33  39033  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem75  39074  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem95  39094  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem109  39108  fourierdlem112  39111  fouriersw  39124  ioorrnopnxrlem  39202  sge0tsms  39273  sge0isum  39320  sge0ad2en  39324  sge0xaddlem2  39327  voliunsge0lem  39365  meassre  39370  omessre  39400  omeiunltfirp  39409  hoiprodcl  39437  ovnsubaddlem1  39460  hoiprodcl3  39470  hoidmvcl  39472  sge0hsphoire  39479  hoidmv1lelem1  39481  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1lelem3  39483  hoidmv1le  39484  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem3  39487  hoidmvlelem4  39488  volicorege0  39527  ovolval5lem1  39542  pimgtpnf2  39594