Theorem xrsdsreval 19610

Description: The metric of the extended real number structure coincides with the real number metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem xrsdsreval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 9964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 9964	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrsds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
4	3	xrsdsval 19609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
5	1, 2, 4	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
6		rexsub 11938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
7	6	ancoms 468	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
9		abssuble0 13916	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
10	9	3expa 1257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
11	8, 10	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
12		rexsub 11938	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
14		letric 10016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
15	14	orcanai 950	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
16		abssubge0 13915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
17	16	3com12 1261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
18	17	3expa 1257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
19	15, 18	syldan 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	13, 19	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
21	11, 20	ifeqda 4071	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
22	5, 21	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -_𝑒cxne 11819   +_𝑒 cxad 11820  abscabs 13822  distcds 15777  ℝ^*_𝑠cxrs 15983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-xrs 15985

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  19612  metrtri  21972  xrsxmet  22420  xrsdsre  22421