Theorem xnegmnf 11915

Description: Minus -∞. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	⊢ -𝑒-∞ = +∞

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 11822	. 2 ⊢ -𝑒-∞ = if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
2		mnfnepnf 9974	. . 3 ⊢ -∞ ≠ +∞
3		ifnefalse 4048	. . 3 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞)
5		eqid 2610	. . 3 ⊢ -∞ = -∞
6	5	iftruei 4043	. 2 ⊢ if(-∞ = -∞, +∞, --∞) = +∞
7	1, 4, 6	3eqtri 2636	1 ⊢ -𝑒-∞ = +∞

Syntax hints:   = wceq 1475   ≠ wne 2780  ifcif 4036  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  -cneg 10146  -_𝑒cxne 11819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-pow 4769  ax-un 6847  ax-cnex 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-xneg 11822

This theorem is referenced by:  xnegcl  11918  xnegneg  11919  xltnegi  11921  xnegid  11943  xnegdi  11950  xsubge0  11963  xmulneg1  11971  xmulpnf1n  11980  xadddi2  11999  xrsdsreclblem  19611  xaddeq0  28907  xrge0npcan  29025  carsgclctunlem2  29708