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Theorem xaddeq0 28907
Description: Two extended reals which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xaddeq0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xaddeq0
StepHypRef Expression
1 elxr 11826 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 9968 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 xnegneg 11919 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
63xnegcld 12002 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xaddid2 11947 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
9 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 xaddcom 11945 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
113, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
1211oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
13 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
1413oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = (0 +𝑒 -𝑒𝐴))
15 xpncan 11953 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1615ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1812, 14, 173eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
198, 18eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 = 𝐵)
20 xnegeq 11912 . . . . . . 7 (-𝑒𝐴 = 𝐵 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
225, 21eqtr3d 2646 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
2322ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
24 simpll 786 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = +∞)
25 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2624oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
27 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
2826, 27eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
29 0re 9919 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
30 renepnf 9966 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ +∞)
3228, 31eqnetrd 2849 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
3332neneqd 2787 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
34 xaddpnf2 11932 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
3534stoic1a 1688 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
3625, 33, 35syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
37 nne 2786 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ -∞ ↔ 𝐵 = -∞)
3836, 37sylib 207 . . . . . . . 8 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = -∞)
39 xnegeq 11912 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
41 xnegmnf 11915 . . . . . . 7 -𝑒-∞ = +∞
4240, 41syl6req 2661 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → +∞ = -𝑒𝐵)
4324, 42eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
4443ex 449 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
45 simpll 786 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -∞)
46 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4745oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
4947, 48eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
50 renemnf 9967 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
5129, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ -∞)
5249, 51eqnetrd 2849 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
5352neneqd 2787 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
54 xaddmnf2 11934 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
5554stoic1a 1688 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
5646, 53, 55syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
57 nne 2786 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ +∞ ↔ 𝐵 = +∞)
5856, 57sylib 207 . . . . . . . 8 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = +∞)
59 xnegeq 11912 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
61 xnegpnf 11914 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
6260, 61syl6req 2661 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -∞ = -𝑒𝐵)
6345, 62eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6463ex 449 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
6523, 44, 643jaoian 1385 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
661, 65sylanb 488 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
67 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6867oveq1d 6564 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵))
69 xnegcl 11918 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7069ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
71 simplr 788 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72 xaddcom 11945 . . . . 5 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
7370, 71, 72syl2anc 691 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
74 xnegid 11943 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7574ad2antlr 759 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7668, 73, 753eqtrd 2648 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
7776ex 449 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = -𝑒𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0))
7866, 77impbid 201 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3o 1030   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xadd 11823
This theorem is referenced by:  xrsinvgval  29008
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