Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegneg 11919
 Description: Extended real version of negneg 10210. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegneg (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg
StepHypRef Expression
1 elxr 11826 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 11916 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 xnegeq 11912 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5 renegcl 10223 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 rexneg 11916 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8 recn 9905 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
98negnegd 10262 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
104, 7, 93eqtrd 2648 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11 xnegmnf 11915 . . . 4 -𝑒-∞ = +∞
12 xnegeq 11912 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13 xnegpnf 11914 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1412, 13syl6eq 2660 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15 xnegeq 11912 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17 id 22 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1811, 16, 173eqtr4a 2670 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19 xnegeq 11912 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
2019, 11syl6eq 2660 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21 xnegeq 11912 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23 id 22 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2413, 22, 233eqtr4a 2670 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2510, 18, 243jaoi 1383 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
261, 25sylbi 206 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952  -cneg 10146  -𝑒cxne 11819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822 This theorem is referenced by:  xneg11  11920  xltneg  11922  xnegdi  11950  xnpcan  11954  xposdif  11964  xrsxmet  22420  xrhmeo  22553  xaddeq0  28907  xrge0npcan  29025  carsgclctunlem2  29708
 Copyright terms: Public domain W3C validator