Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1n 11980
 Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1n ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 9971 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3 xmulneg1 11971 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
41, 2, 3sylancl 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5 xnegcl 11918 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xlt0neg1 11924 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
87biimpa 500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
9 xmulpnf1 11976 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
106, 8, 9syl2anc 691 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
114, 10eqtr3d 2646 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
12 xnegmnf 11915 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
1311, 12syl6eqr 2662 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
14 xmulcl 11975 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
151, 2, 14sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
16 mnfxr 9975 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
17 xneg11 11920 . . 3 (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1815, 16, 17sylancl 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1913, 18mpbid 221 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  -𝑒cxne 11819   ·e cxmu 11821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xmul 11824 This theorem is referenced by:  xlemul1a  11990
 Copyright terms: Public domain W3C validator