Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlenlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlenlt 9982
 Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 4584 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ )
2 opelxpi 5072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 9959 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2680 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 3550 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
64, 5bitri 263 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
76baib 942 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
82, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
91, 8syl5bb 271 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
10 opelcnvg 5224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < ))
11 df-br 4584 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < )
1210, 11syl6rbbr 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
1312notbid 307 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
149, 13bitr4d 270 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-le 9959 This theorem is referenced by:  xrlenltd  9983  xrltnle  9984  xrnltled  9985  lenlt  9995  pnfge  11840  mnfle  11845  xrleloe  11853  xrltlen  11855  xrletri3  11861  xralrple  11910  xleneg  11923  supxr2  12016  supxrbnd1  12023  supxrbnd2  12024  supxrub  12026  supxrleub  12028  supxrbnd  12030  infxrgelb  12037  ixxub  12067  ioon0  12072  iccid  12091  icc0  12094  icoun  12167  icodisj  12168  snunico  12170  ioodisj  12173  ioojoin  12174  supicclub2  12194  hashgt0elex  13050  hashgt12el  13070  hashgt12el2  13071  0ringnnzr  19090  lecldbas  20833  xmetgt0  21973  bldisj  22013  icopnfcld  22381  icombl  23139  ioombl  23140  ioorcl2  23146  vitalilem4  23186  itg2gt0  23333  ply1divmo  23699  ig1peu  23735  radcnvle  23978  psercnlem1  23983  nmlnogt0  27036  xgepnf  28904  xlemnf  28905  xrlelttric  28906  xrsupssd  28914  xrge0infss  28915  joiniooico  28926  xeqlelt  28928  iocinif  28933  esumsnf  29453  esum2d  29482  oms0  29686  omssubadd  29689  relowlpssretop  32388  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ismblfin  32620  asindmre  32665  ioounsn  36814  iocmbl  36817  supxrgere  38490  snunioo2  38578  iccdifprioo  38589  iccpartnel  39976
 Copyright terms: Public domain W3C validator