MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcld 22381
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 9975 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 9964 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 11833 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 11830 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8 df-ioo 12050 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-ico 12052 . . . . . 6 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 xrlenlt 9982 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐴))
11 xrlttr 11849 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12 xrltletr 11864 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴𝐴𝑤) → -∞ < 𝑤))
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 12062 . . . . 5 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1326 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 12119 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15syl6eq 2660 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17 ioossre 12106 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
188, 9, 10ixxdisj 12061 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
192, 3, 5, 18syl3anc 1318 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
20 uneqdifeq 4009 . . . 4 (((-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2117, 19, 20sylancr 694 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2216, 21mpbid 221 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23 retop 22375 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
24 iooretop 22379 . . 3 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
25 uniretop 22376 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
2625opncld 20647 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2723, 24, 26mp2an 704 . 2 (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2822, 27syl6eqelr 2697 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  cdif 3537  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  topGenctg 15921  Topctop 20517  Clsdccld 20630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-cld 20633
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  29661  orvcgteel  29856  dvasin  32666  dvacos  32667  dvreasin  32668  dvreacos  32669  rfcnpre3  38215
  Copyright terms: Public domain W3C validator