Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icc0 12094
 Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem icc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 12085 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2612 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 df-ne 2782 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅)
4 rabn0 3912 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
53, 4bitr3i 265 . . . . 5 (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
6 xrletr 11865 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
763com23 1263 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
873expa 1257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
98rexlimdva 3013 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
10 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12 xrleid 11859 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
13123ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
14 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
15 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
1614, 15anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1716rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1810, 11, 13, 17syl12anc 1316 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
19183expia 1259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
209, 19impbid 201 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
215, 20syl5bb 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴𝐵))
22 xrlenlt 9982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2321, 22bitrd 267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2423con4bid 306 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
252, 24bitrd 267 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053 This theorem is referenced by:  iccntr  22432  icccmp  22436  cniccbdd  23037  iccvolcl  23142  itgioo  23388  c1lip1  23564  pserulm  23980  iccdifprioo  38589  cncfiooicc  38780  ibliooicc  38863  voliccico  38892  vonicc  39576
 Copyright terms: Public domain W3C validator